第6页240ctober2025第九章拉普拉氏变换例5 求_f(t)= e-at sinkt的拉氏变换k，所以解：因为 L[sin kt]=s+k2,kL[e-at sin kt] =(s+a)? +k2.例6 求f(t)=etm(m为正整数的拉氏变换m!解：因为L[tm] =sm+1m!所以L[e"(s -a)m+1结0口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第6页 例5 求 f t e kt at ( ) sin − = 的拉氏变换. 解：因为 [sin ] 2 2 , 所以 s k k kt + L = . ( ) [ sin ] 2 2 s a k k e kt a t + + = − L 例6 求 f (t) e t (m为正整数) at m = 的拉氏变换. 解：因为 , ! [ ] +1 = m m s m L t 所以 . ( ) ! [ ] +1 − = m at m s a m L e t
第7页240ctober2025剪九章拉普拉氏变换5、延迟性质若LLf(t)l= F(s),又t<0时 f(t)=0,则对于任一非负实数，有Llf(t -t)l=e-st F(s)或者L-l[e-st F(s)] = f(t-t)证明：根据定义，得LIf(t-t) = (f(t -t)e-stdt- J" (t-t)e-"dt+ t f(t-t)e-"dt/f(t-t)e-stdt. 因t <t时 f(t -t)= 0结束0O口
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第7页 L[ f (t )] e F(s). s − − = 5、延迟性质 证明：根据定义，得 + − − = − 0 L[ f (t )] f (t )e dt st 任一非负实数 ， 有 若 又 时 则对于 L[ f (t)] = F(s), t 0 f (t) = 0, 或者 [ ( )] ( ). 1 = − − − L e F s f t s 0 ( ) ( ) st st f t e dt f t e dt + − − = − + − ( ) . st f t e dt + − = − 因 t f t − = 时 ( ) 0
第8页240ctober2025第九章拉普拉氏变换t-t=u, 则令L[f(t -t)] = f+ f(u)e-s(u+t)du=e-stf(u)e-sudu =e-st F(s),Re(s) > c.注：(1) 对f(t)的要求： t<0时,f(t)=0.(2)f(t-t)的拉氏变换实际上是f(t-t)u(t-)的拉氏变换(3） e-s F(s)的拉氏逆变换实际应为f(t -t)u(t-t)结口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第8页 则 ( ) ( ), Re( ) . [ ( )] ( ) 0 0 ( ) e f u e du e F s s c L f t f u e du s s u s s u = = − = + − − − + − + 令 t − = u, 注: ( ) 1 对f t t f t ( ) 0 , ( ) 0. 的要求： = 时 ( ) ( 2 ( ) ( ) ) f t t t f u − − − 的拉氏变换实际上是 的拉氏变换. 3 ( ) ( ) ( ) ( ) . st f t e F s u t − − − 的拉氏逆变换实际应 为