上式仅当三点P=(x,…,x),Q=(:…,yn),R=(,…,x)在一直餞上时 取等号 証,命 則定理1轉变为 +b) 吓方此式,得 ∑ ∑a∑≥∑(a+2ab+6 于是只要証明 a∑b≥ 現在考虑 ab∑anb ∑(a+b-2 avaya b)=∑(ab.-a,b,) 这当然是≥0的,囚而得出定理1的不等式 如果取等号,則得 vb b a 亦自 召推 命之为t,則得 所以 从而 x〓tb十b十 即三点都在直餞 Abn tn) <A<o §3.邻域 我們今后将常用以下的一些区域 1)閉区域 ≤x≤b 23
是一个长方休,我們把它記之为 a1,h1;a2,2;…anb] 略去所有的等号,即得开区域 a1≤Ⅺ<饥,·,an<n<bn 我們以 表它,长方体的边长各为b1-叫,…,b一an体积等于(h1-a1)…(bn-an).这个 方休的中心是 a1+ bi an+ b2 定义1.以一点d=(41,…,an)为中心的任一开长方体 <6 称为这点A的邻域 2)适合于 ≥0 1,2 x十…+xn≤k(h>0) 的点所成的集合称为閉单純体.当n=1时,这是一毯段;当n=2时,这是一个三角形; n=3时,这是一个四面体 去掉所有的等号,我們得出开单純休。 3)适合于 (x,一a)2≤r2(或<r2) 的点(x1,……,x)所成的集合称为以点(a1,……,an)为中心、以r为牛径的閉球(或开 球) 我們有时也把以(a;…,an)为中心的开球作为点(a1,……,an)的邻域.为了区别 起見,我們称这样的邻域为球形邻域 定理1.一点A的邻城中一定包有一个d的球形邻域;反之,在一个A的球形邻域 内,也一定包有一个A的邻域, 証.給了一个长方体邻城 ix-a<b,p=1,2,…,n, 其中显然包有球形邻域 )2<min(6,……,a) 反之,在球形邻城
中,也显然包有长方体邻域 x-a,<一,υ=1,2,…, 定义2.命M表一个点集.如果一点P(不一定属于M)的任一邻域都包有M中的 ,則P称为集M的聚点 定义3.包有所有的聚点的集合M称为閉集 例如,閑长方体、閉球、閉单純体都是閉集 §4.域 定义L命M表一点集A为M的某一个点,如果点A有一个充分小的邻域亦在M 中,則A点称为M的内点, 仅有内点的集称为开域 由上面的定理可知,内点的定义不因球形邻域还是长方体邻域而变,开域的定义 也如此 例如开长方体,开单純体,开球都是开域 定义2.开域M的聚点,不在M中的称为边界点,边界点的至体称为M的边界 开域加上边界称为開域 例如,开长方体 x<b;=1,2,, 的边界是由2n个“面”所粗成的(x=ax=b).而閉长方体是閉域。 球∑x≤r2的边界是x十…十x一r閉球是閉域 定理1.閉城是閉集,也就是閉域包有一切聚点, 虹,命A为閉域D的一个聚点,則A的任一邻域一定包有D的点,如果任一邻域 都包有D的内点,則A一定是D的内点或边界点.如果A的邻域 仅包有D的边界点,命B=(h,……,b)为这样的一点.在(1)内,我們可以做B的 邻域,由于B是边界点,所以其中一定包有D的内点,也就是(1)中有D的内点,因而A 是D的边界点,定理証毕 定义3.如果一个点集M的所有点都可以包在一个长方体内,就称这个点集为有界 点集 定义4如果域中任二点都可以用完全在这域內的折耧联起来,就称这域为联通 如图24和图25是面上的联通域又如球面(图26)与环面(图27)也是联通的,但 图29是不联通的
环 带的茶壶 建环 §5.极限与連馩 假定囪数 在一点d=(a1,……,an)的一个邻域内定义(或者更一般些,在一个以A为聚点的点集 M上定义),但在A点可能并沒有定义 定义.如果存在有限数L,希了任意8>0我們可以找出8>0,使当 1 时有 則称为当点x=(x1,…,x)趋于点A=(a,…,an)时fx,…,x)趋于极限L(有 时在条件(1)外我們更加上x属于M这一条件),記为 lmf(x1,……,xn)=L x上 有时为了单起見,我們也写作 limf(x)=L 不难証明,如果把邻城(1)換为球形邻域,精果也是一样的 仿此可以建立函数的无穷极限的概念,在L=∞,+∞和一0的情况,不等式 f( 各換为不等式 代(x1,……,xn)|>E,fx1,…,xn)>E fr
此处E是預耠的任意正数 也可以定义x→+∞,…,x→+00的情况,对任一6>0,有△>0存在 f(x1,…xn)-L}<s 記为 lim /(r, 現在所談极限的情况比一个变数复杂得多了.就二推空間来說,就有各种核路来接 近一点.例如,囡数 f(x, y) 当沿镘y=λx接近于(0,0)时,得 limf(r, ax) 1+2 可見每一个直方向的极限都存在,但是数偵随着方向而改变 又如 x2-y2+x2 x, y 則由于先后求极限的次序不同,而轱果各异,如 lim[ limf(x, y)] imim(x,y)]=Im十x=1. 这說明了处理多变数数的极限时必須小心,很可能 rII lin 所代表的是不同的东西,以上例营,第一种极限不存在,第二第三各异 由此可兒任竄地交換两个极限号会造成严重錯,但有了以下的定理,就能保証极 限的交换 定理1.假定1° y+5 存在;2函数 y)=五mf(x,y) 存在,则得 lim(y)=lim limf(x, y)=limf(r, y); 又如果3° y(x) limf(x, y)