有吋候我們要处理这样的間题:求一个平面积对一条垂直于这平面的軸的尊动慣量 我們假定原图形在x,y平面上軸就是z軸.在(x,y)平面上的一点(x,y)与x軸的 距离就是√x2+y2,郎与原点的距离.这种情况,我們也称为对原点的轉动惯量: IR=Io= ( x+yd=Ir+I 额者試自己处理一个旋韓休对其旋轉軸的轉动慣量 8.流体压力 以前會經涉及过一个力或几个力作用在一个质点上的情况,我們經常遇到这样的間 題:井不是一力作用在一个点上,而是分布在一块面积或一块体积上,例如:载沙土的車 子,对車旁边的压力;如两个带电的盘子的吸引,如两个球体或其他形状的物休互相吸引 的題,如果我們把物体看成为质点的总合,我們的問题也可以把物休受力的情况看成为 睹点各各受力的总和 最簡单的例子就是流体的压力,一个平面垂直地插进均匀的流体中去,为了确切起 見,我們把x軸放在流体面,而把y軸的正问向下插进流体之中 把面积分为矩形,其长为x,其宽为△y.在水下的深度等于y.如这一片并不是垂 商的,而是水F方向的,那末在这一片上面的流体的压力就等于在这一片上所承担的流体 柱的重量郎“y;x△y,此处表单位体积流体的重量,由流体的性质,在这一片上的旁 压力也~wy,x△y,所以 F= lim Ewyx△y= w yx dy 体面 定理1.垂直插进流体的于面积的旁压力等于单位体积流体的重量乘以插进去的面 积再乘以重心的深度 闷.把一块三角板插进水内,这三角板的三頂点各为(D,1),(0,3),(2,1),斜边方 程是 .I8
所以 1 核对:三角形的面积是1·22=2,重心的深度是1+2=5.由定理1可知 压力中心,以上的情况看成为一批不行力压在一个垂直面上即大小如 △F y:△y 的垂在力压在所对应的小片上,这一小片的重心之坐标近似于{,y),这些力可以算出 重心,它的坐标就是 这个(xy)也称为压力中心 侧,上例中的压力中心的坐标是 39-2y3+1y=3 10 §9.功 命一个恆量的力速接地加在一个物体上,使它沿此力的方向移动一个距离d,则力的 大小F和距离d的乘积称为使这物体移动距离d的功 例如,20公斤的力把一块石头推进了10公尺,則所做的功是 H=(20公斤)(10公尺)=200(公斤一公尺) 我們現在把这一概念推广到变化的力上去 侧1.一个圓柱形的水桶,其底的牛径是5公尺,其高是 20公尺,注滿了水。求把所有的水抽出水桶所做的功, 水桶的飄剖面如图23,現在考慮离桶底y公尺的倩况,这 是一个風片,体积等于丌52·y(立方公尺),水的重量是每立方 公尺的水重一公吨,所以,这片的水重等于25xdy(公),这 需要升高(20-y)公尺 图23
把这国片的水升到桶口所做的功等于 25r(20-y)dy, 所以总功等于 W=25丌(20-y)dy=25x (20-y)2m =5000m(公尺,吨) 2 例2,求将弹箦伸长S所作的功P,設张力p=Cs,此处C是常数,则 侧3.設活塞的面积为Q,单位面积上承受的气体膨胀的压力是P,求气休膨胀时 将活塞由距气缸底S1处推至距汽缸底S2所作的功P: 由于 boyle- Mariotte定律 而v=Q,作变换s=,則得 C P1 此处组=ΩS1,n=QS2;p1与P分別表示过程开始与过程終了时的压力 假定在膨胀时,气体与周围沒有热流通,这称为絕热过程,这时P与之有次之关 put= C 此处夜>1与C都是常数.因此 C 20·
第十二章多个变元的函数 §1.变数 一流到現在所討論的变数有两种:一种是取自然数值的(或者是取整数值的),这种变 数称为离散性的.例如,貫{4an}就是离散变数n的函数.另一种是取实数值的或速癃地 取一部分实数的,这种变数称为犢性的.一般牮面上的图形y=f(x)就是代表速續变 数x的函数,我們已往所討論的都是仅有一个变元的情况,但是客观事物的变化不一定 只有一个因素.往往是在实出地考虑一个因素的作用和影响时,才会出現单变数的情况 一般誹来,我們經常遇到的是多种因素的情况,表呢成为数学围题也就是多个变数的图 数,有时还可能出現无穷个变数的情况,我們現在暫不討論无穷个变数的情况,假定变 数的个数是一个定数n,n可能是1,2,3,也可以是大于3的自然数,当n=1,2,3时, 可以用耧,面,体上的点来說明,当然,当n>3时,不可能有几何空間的明确意义,但是 我們仍将保留几何名称 为了叙逃方便,我們用一般的n,有时仅叙述n=2或n=3的情况 在耕一般的n时,讀者最好举出n=2或n=3的情况来细看一下.又在誹n=2 或n=3时,讀者最好思考一下推到一般n有什么困难.这是一个帮助自己复习的方法 变元既然有两类,我們自然也就有以下几种不同情况 1°.有多个离散变元的情况,如重貫 l,m=0,1 及重极数 就是有两个离散变元的情况 2°多个速犢变数的情况如两个变数x,y的撒 f(x, y) 在x,yF面上的一个范围内变化,又如 在整个三雜空間(x,y,z)上定义,而 仅在单位球内或表面上定义, 十y2十x2≤1
又如 w= arc sin - logy +e 仅在|x≤a,y>0,-∞<x<0的范围内定义 3°混合的情况.也就是有一部分变数是离散的,而另一部分是連籟的,例如,在 a,b]中定义的函数貫 就属于这种帱形, 这几章的目的就是在于研究多变元的情况,我們先从2°型的多变元情况說起 §2.n稚空間 n雜空間与普通的二雜、三雜空間相似,我們取n个互相垂直的軸:x1,x2,…,x 空間的点用n个实数(有时也用n个复数) 来表它 如果这n个数x1,…x是一个参变数t的图数,即 x1=g1(t) qn(t),a≤t≤b 这样所定义出来的軌迹称为n雜空間的曲餞 及 B=(h1,…,b) 代表两点,則 x,=a+以(b-a),1≤≤n,0≤t≤1 代表一个餞段即由A到B的緩段;又当一∞<t<∞时,則代表过A,B二点的直额 两京 的距离定义为 对任意三点P,Q,R,我們有不等式 PQ+QR≥PR, 也就是“三角形的两边之和大于第三边”的性质.明确些,我們有 定理1 √(x1-y)2+…+(xn-yn)2+√(y-1)2+…+(y-xn)2 ≥√(x-)2+…+(x-z)