存在,則两个极限手獷可交换 証。由定义,耠了ε>0,必有8>0,使 x-a|<8,iy-b<8 f(x,y)一L|< 使x→a,則得当|y-b1<δ时 即得定理 突义如果 lim f( 就說f(君,……,xn)在点(x1……,xn)处連犢,也就是耠了E>0,有>0存在,使 x1-x1<8 8 时 B)-(=1 已討論过的函数 f(x, y) 除原点以外无处不連犢,但在x=0,y〓0这一点不速癥.对任何一个固定的x 八(x,y)是y的連犢医数,而对一个闓定的yfx,y)也是κ的連續匦数,这現象告訴 我們对各变数的速續酾数,并不一定是对两个变数的速犢图数,原因是前者我們仅考虑 沿玊行于x軸或y軸方向的趋限法,而我們的全面趋限法却是各种不同的趋限法都要考 虑 定理2.假定 是在点(,…,)附近的續函数,并且命 假定 是在点(x1……,xn)附近的速續數,則 是在(42……,)附近的速續数 証,对任一6>0:我們有δ>0,使 时 fo m)-I(x1 又有y>0存在,使当 2,卩 28
q(,…,l)一(,…,m)|<,=1,……,群3 x-x|<δ 因而得出本定理 §6.域内的連嶽函数 与一个变数相仿,我們有以下的一批定理(証明从略) 定理1.假定f(x,y)是在某一联通域D中的連额函数,如果D中有二点使f(x3y) 值异号,即 八(xa,y)(x1,y2)<0 則此域中必有一点(x,y)使 f(x’,y)=0 定理2(Bl2 ano. Weierstrass).从任一有界貫 中一定能够选出一个趋于极限的子貫 …,n→∞0), 定理3.函数f(x,y)在一个有界閉域中定义且速續,则它一定有有限的上下界m及 m≤f(x,y)≤M 定理4.在一个有界閉域上定义且速續的图数f(x,y),一定在其上取最大值与最小 定理5( Heine-Borel).若玊面上的有界閉集M能被开域a的无粗={a}所造 盖,則恆能从其中选出有限个开域 飞也能遮盖M的全部 定理6.在有界閉域D上連續的函数f(x,y),一定在其上一致連籀换詈之,对任一 >0,我們可以找到6>0,使D中的任意二点(x,y),(x,y)之适合于 者,常有 f(x,y)一f(x:y)<6 这些定理証明的原都和一个变数的情形一样酸者試自己証明,这些定理还有更 般的抽象形式,为抽象空朋的基本性 §7.倔微商与全微分 定义 mn(x+△x,",2)-(,y,=)-9f=D △→0
为f(x,y,x)对x的偏微商,类似地,可以定义Df,Df 这函数的偏微分的和 df 称为函数f(x,y,z)的全微分 全微分的意义也可以用下面的方法得出 =f(x+△x,y+△y,z+△z)-f(x,y,z) =f(x+△x,y+△y,z+△z)一f(x,y+△y,z+△z) +f(x,y+△y,x+△x)一f(x,y,z十△) +f(x, y, #+Az)-f(x, y, z) 改变量的主要部分就是全徼分 很定x,y,x不是自变量而是参变数t的函数,則得公式 正=就.女+f山+可fd (1) 全微分显然有以下的法則 (w)dx+0() dxt 这虽然仍然是旧形式,但是有了新的更广泛的内容 又如果x,y.s是,的雨数,即 x(,), f(r, y, s)=f[ o(u, u),d(u, u), x(u, u) 对4,的俑徽商等于 -of ax t dy+afar Ox Ou ay a af ay af as 趣法与公式(1)的証明完全相岡 乘以dx,d而相加,得 侧1,x=x(x>0)的偏微商是
dy 而 dn=yx”1dx+ xlog x dy 如果y=six,則 cos x log x-x sinx t cos x log x 例2.命 y 此处f(x)是一个有微商的任意图数 =2xyf(x2-y),9=x2-y)-2y31(x2-y) 由此得 2a+ =2yf(x2-y2)十-f(x2 所以函数z适合于 x 这是偏微分方程 匈3.理想气体的体积,压力p及絕对温度r之間有关系式 RT(R是常数) 如果把T看作为p的囡数,則有 T at p 把“看为p,r的函数,即v=FT则有 aT p 把P看为,T的函数又有 RT apR T 由此得出热力学上的重要公式 ap dv ar RT R RT P R 注意,异于 dv dx dy 我們現在井沒有公式
ax d 例4,由 我們也可以求出 tg 例5,由 xmd? d +y+ x2+y2+z2)2 可以求出 x2+y2+z2)(x2+y2 yi+ x2+y2 §8.齐次函数 函数f(x1,…,xn)之适合于 )=tf( (1) 老,称为女齐次函数 例如,x2+7xy+9y2是二齐大函数,而 就是0次齐次式 把(1)式的两边对t微商得 af( , tEri+ 2=kx-f(x1,…,x) 命 印得 减f( 这就是关于齐次函数的Eler公式 定理如果f(x1,…,x)是λ大齐次式,且有連箱倔微商,則有