相截后所得的柱面的面积P(图14): z/1 x/1 x√2+4a=12[(+4)- 飼2.如果将上例中曲钱段换为在第一象限中的圓周,印y=√a2-x2,0≤x≤a), 則由于当x→a时“→∞,所以上面的公式不能无条件的使用.朵用参数表示法 x=acos,y=asin;(0≤t≤x), ,(7+(-(m 3.求曲寝 在第一象限内的一段上,与高 t a.Rcost 所构成的柱面的面积P: P=。osy(2Rs1n(s+(一R面t+kosD osr dt= rz (曲与z= Rcos t所构成的空間曲犧,正好是柱面x2+y2=Rx与球x2+y2+x2 R2的截口,称为锥雜亚尼曲秘) 皙题1.求将例1中的曲段換为椭国在第一象限中的一段 a cos t,y=bint(o≤t≤只 时的柱面积 督題2.求牛径为r,軸相交成面角的两国柱体的公共部分的表面积 §6.求 給定n个质点 MI(=l, y1, xi), M2(xz, y2, *2),.., M,(xn, yn, =x) 它們的盾量各等于
表示总质量,则 =1∑m*,5=1∑my,=1∑m 称为这质点系的重心 不难驗証,把这一系任意地分为若干粗,每一粗有一重心,把这一粗的質量完全集中 在这些重心上,作出一个新质点粗,这新威点粗的重心就是原点粗的重心 我們不討論厦点系我們討論充滿平面上某一个区域或某一条段的物质为单赶 見我們只考虑均勻分布的物质的情况.取密度为1,这样,一条錢段总的质量就可以用这 寝段的长度来表它,一块下面区域的质量可以用面积来表示,也可以用体积来表示质量 先求一条曲耧弧AB的重心,假定它的长是s,把弧AB分为n分,△m=△,則 ∑x△,y 忠极限可知 xds, y d + 2 (A) 由此推出 定理1( Guldin Pappus).由平面上一段已知弧,撓这平面上一条不穿过这弧的直 簃作軸,週轉而成的立体的側面积等于这段弧的长度与这段弧的重心旋轉时經过的路程 的长度之积 亩,取旋轉軸为x軸.由弧AB旋轉所成立体的側面积等于 hya=2ry…5 侧1,試求牛径为r的弧AB的重心位置
因为这弧对称于通过它的中点M的牛径OM,所以重心在这华径上,为了要确定重 心,仅須求出它与圆心o的距离.取軸如图所示,并以表AB弧的长度,4表示弦AB 的长,我們所硏究的弧德x軸旋轉,得出球带,它的面积P等于2rd.依 Gulda定理,这 表面积又等于2x,所以明=r,即η= 取AB为华圓,即d=2r,s=r,則得 侧2.求旋輪的一支: x=a(t-sint),y=a(1-cost)0≤t≤2r 的重心 由于对称性,所以重心(,)的横坐标占立刻可以求出 已知旋輪一支的周长为8a,又知这一支辘x軸旋轉的表面积为xa2(51例3 及§4刁題4),故由 Guldin定理可知 2x7 因此 再考虑一块平面区域A(它的面积也記之为A).为簡单起見,假定这个区域是在两 条曲藏之間,这两条曲各为 f1(x),y=f2(x), 取x到x+△x的一小块,对这一块重心(x,y)的近似式是 f1(x)+f2( 而△m~(f2(x)一f1(x))△x A(r) 四此整个面积的重心等于
F-llim2xoAm=lx(x(x)-n())dx A =-1imEy0△ -im∑ f2(x)+f (x) (2(x)一f(x))△x (f2(x)2-f1(x)2)dx 由此推出 定理2( Guldin Pappus),由一块平面图形,镜这面上一条不穿过这图形的直簌 为軸旋轉而成的立体的体积等于这块图形的面积与它的重心在旋轉时所释过路程的长 度的乘积 証.取旋轉軸为x軸,旋轉体的体积等于由曲餞y=f(x)宁由後y=f1(x)旋 轉而成的两个旋轉体的体积的差,所以 v-x f()dr-zlf(x)dx-2xy4 現狂再計論旋轉体的重心,旋轉体的重心一定在軸上,因之,仅需确定其在旋轉軸上 的地位郎足 在x与x+△x問的截旋轉休的体积~x△x(f(x)2,其重心~x,所以旋轉体的 重心 ((r))'ds 此处V是旋轉体的体积 树。求拋物 0≤ 堯x軸旋轉出来的立体的重心, 現在有 x fur d 又 vE=a(f(*))dx= 'tax'dx=4 na 因此得 4 §7.轉动慣量(或下方矩) 质量为m的质点对一軸的轉动慣量定义为 这r是这一点与軸的距高
一批盾量为m1,…,mn的貢点P1,……,Pn的幃动慣量就是 这儿r是质点P到軸的距离 取軸为x軸,这轉动慣量以l表它,因为由点(x,y,z)到x軸的距离等于√y2+x, 所以 ∑m(y+s) 同法对y軸,z軸的轉动慣量各为 m,(2? +x2) m,(x?+ y2) 必須注意,一匱点对一固定軸的轉动慣量与这一点的位置无关,而仅依賴于这一点对 这軸的距离 例如,(5,0,0),(0,5,2)与(3,-4,6)点虽不同,但它們对z軸的轉动慣量都是 相等的,实质上,所有的适合于x2+y2=52的点都有相等的轉动惯量.这些点都是在 同一以旋轉軸为中心軸的圓柱面上的 命M=∑m是总贗量.由了=R2定义R,称为慣性华径,也就是如果把总鹰量 M集中在距軸R的点,所得的轉动慣暈与原厲点系的轉动慣量相等 我們現在也是仅仅考處均匀物的轉动慣量 个玊面积对y軸的轉动慣量.取一小条,其寬为dx,曲則由ymf(x)到fx+ △x),这一小条的質量~ydx,其慣性牛径~x.所以 图20 侧1.求长方形对其一边的轉动慣量,在上式中y=b,所以 ,=(“如x2dx==1 3