再假定这立体在x=a与x=b二点所作的垂直邳面之間,我們在a,b間作若干断 面把立体分为若千个单元,考虑这样的一个单元,它界于两断面x与x+△x之間.以 △x作高,以x的断面作底做出的正柱体的体 积等于 d(x)△x 于是我們得到所要求的体积v的近似表达 图 ΣA(x)△x 当断面无限增加,△x的最大值趋向于0时,取极限,得一定积分,此郎体积。因而得出以 下的精論 如果匆.个给的立体的垂于,定为向呀有的横断两而积,取这檬断的 哼向作为x軸的方向,即这立体的体积由公式 A(r)dx 表达,其中A(x)是橫坐标为x的横断面的面积,a,b为这立体的两端断面的横坐标 如果我們的立体是一个旋轉休,郎先給定一条曲錢y=f(x),辘x軸旋轉所得出的 体,我們的橫断面就是以y为牛径的圓,所以 而休积就等于 侧1.求底华径为r,高为k的能体的体积 命錐体的軸为x軸,錐休的頂为原点,以垂直于x 輛的平面去截这个国錐体,得一个囿,牛径为 图8 因此[錐体的体积为 郎高乘底面积的1/3 例2.設椭風+=1x軸旋轉,求此迥轉椭圓体的体积v: e(a'-xda )dx=2r:°(az2
树3.求抛物体2ax=x2+y2与球x2+y2+x2=3a2的公共部分的体积 以垂直于x軸的平面来截这两个立体.当用x=a这张平面去截时,截下来的面积相 等,称为截口 当用面z=a(a<a)去截它們的公共部分时,得径为√2a的圓.但当a>a 时,就得到径为√3a2-a2的聞因此体积等于 2tu *dz +r(3a2-x2)dx==(6 树4,以通过鼠柱体底的直径的平面去截这圊柱体,由它切下来的几何形体,称为 国柱弓形体,試求以与底面成角a的吓面去截底的牛径为a的国柱休时,所得的圓柱 弓形体的体积 取截面通过的直径所在的直餞为x軸和底面的国心为原点,以垂于x軸的下面去 截时,得一个三角形,其面积为 因此弓形体积等于 tg a 此处h是圓柱弓形体的高 若以垂直于y軸的乎面去截时,得到的是矩形,其面积等于 2xyga=2gay√a2-y2 所以国柱弓形体的体积等于 2 tg a 3“ga=2a2 習题1.武求对应于x=0及x=b的一段悬鏈餞 糖z軸旋蘖所得的体积
習题2.求旋輪的一支 (r (1 橈x軸旋轉所得的体积 蛩题3.求星形籁x+y镌x軸旋轉所得的体积 髻題4.求球x2+y2+x2=R2与圓錐x2=y2+x(x≥0)的公共部分的体积 §4.旋轉面的側面积 假定在x3y平面上有由参数方程 y 所定义的曲幾,当t由a变到β时,曲耧由A到B,我們現在要求出这一曲经镜z軸旋轉 所得出的旋轉体的側面积 v=1 先作折籁 d=M,M1,M2,…,M1,M,…,Mn-1,M,=B, 对应的点是 a如y,l…凯1,t,…t-1,=β 我們先算出这折镘旋轉所得岀的側面积.由諓段Mυ-M辘κ軸經旋轉所得出的截錐 的两底的牛径各为 斜高等于 (x一x-)2+(y-y 这截錐的侧面积等于 r[小(-1)+ψ(t)√(x一x,-1)2+(y-y)2 x[小(v-1)+(a)](4-l-)√φ(r)+ψ(z (用 Lagrange公式),此处r,"是(t-1t)中的数值,我們現在要考虑的是 ψ(x)+收(=-)√q(x)+2(r)(a-m) 的极限.与处理弧长的原則一样,我們不妨在第一、第二因子中把圳,∴,z都换为t
(这样的变化仅相差一个无穷小),改变后得 ∑ψ)√φ()+叭()( 在趋限时,就得到总面积的公式 F=2mψ(a)√p(+2()at, 也就是 F=2兀 1.求球面(即牛径为r的,繞直径旋轉而成的立体的表面)的面积,取这个圃 x2+y2=r2; 而旋轉軸为x軸,則球面的面积为 2.求星形韆x=acos3t,y=asin3t繞x軸旋轉的立体的表面积P 只要将星形在第一象限的弧所划出的曲面的面积加一倍郎可,故 12xa?I sint'tcost di #s 12xa2sin't/2 恻3.求心脏餞r=a(1+cos)糖极軸旋轉所产生的曲面的面积P P r sin 0,/r2+ de d e os,8 sin 8. za cos e d0 de 習題1.求对应于x=0及x=b的一段悬鏈殺 y 的弧x軸旋轉所得的曲面的表面积 習題2.求双粧寝r2=2a2cos20镜极軸旋轉所得的曲面的表面积 習题3.求迥尊橢圓体的表面积,郎椭圓 镜x軸旋轉所得的曲面的表面积 17391 b11
習題4.求旋輪辍一支 x=a(t-sint),y=a(1-cst),0≤t≤2r 镜x軸旋轉所得的曲面的表面积 §5.柱面的側面积 在xy平面上有一曲簌 x=(),y=ψ(r) 过这曲淺上的点作平行于z輛的直镘,这些直犧成一柱面, 再加一个方程x=x(r)(x>0),我們要求在z=0举面和x=x()之間的柱面的 面积。我們把A,B用的曲线分成为 A=M,M1,……;Mp-1,M…,M-1,Mn=B 它們对应于 作梯形,这个梯形以經过M12M的二直为边,它的面积等于 n-+√[q(t-)-g()]2+[4(4-)-x) 用与上节相同的方法,我們的朋題可以化为求和数 x(x)√φ(a,)+(2)(a-x) 的題,所趋的极限是 x()√q()+ψ")d 例1.求x,y平面上曲殺 6x2 b 上对应于x=0及x=a的一段弧上建立的柱面与平面