对积分的上限求微商得 a=√φ?()+( 再由 得田 所以求弧长的公式可以写成为 ds 4x)2+(dy)2 这里(A),(B)各表依照积分变量对应于曲上点A3点B,这积分所应当取的上下限 特别是,如果曲由 表示,并且A,B各对应于x=a,x=b,则弧长公式变为 dv i d 1+(f(x)2dx 又如果是极坐标形式 由谊角坐标xy与极坐标的关系 y=T 可得(这就可以看成为以0为参变数的方程) dx= cos e dr - sin 8 de, dy=sinθdr+rcos8d0, dx2t dy2=&r2+rd8 所以 dr=√(4x)2+(4y)2=√(dr)2+r(d 如果A与B各对应于角日=a,日=B的点,則极坐标所表出的弧长是 Cy→+(m) M ds的极坐标表达式也可以由图2得到当弧MM常小时,可以用M M'混的弦代替这段弧,这弦恰好是直角三角形MNM的弦,而其他边各 与rd,dr近似相等. 注意,曲的长度是有方向的,如果我們假定了正向悬由A到B,則 由B到A的度量就是以上的长度加一負号,在用参变数表示法时,也請法 意这点,要看准由a变到β是否就是A到B的方向 侧1.求(0,0)与(a,a2)之閥抛物额y=x2的弧长
+4x2d )J. 闵2.求对数螺餞 在日=a与θ=月之間的弧长,这儿C为常数 0=c√1+a2 侧3.設有一个半径是a的園在一条直餞上滾动,这上一个固定点M的軌迹称为 旋輪,求M与直耧相交的两点之围的弧长 命固定直为x軸,M与直较两邻接的交点 是o与’,圓心是C,∠MCN=,則可知旋輪 有如下的参数表示: 故弧oo的长度为 √a(1-cos-)2+a2 sin 't de de 習題1,求星形幔x=acos3t,y=asin3t的周长 習题2.求的漸伸錢 a( sint cosi), y= a( I COST t=0至t=B时的弧长 習题3.求心脏 0+a的周长 習题4.一条有重量的鏈子,两端悬起鏈的方程可以写为 求当x=0至x=b之闊的弧长
§2.面积 我們已輕証明过在曲 与x軸,x=a,x=b之間的面积等于 我們規在研究金变数表示下的情况,仍假定 (1),y=小( 此处的φ与ψ有連篾微商.如果当ε由勾变到a时,x是增函数,則在此曲犧与x軸之間, 及对应于t,在的飘坐标之的面积等于 ,(p(d= y dc 如果我們有一条開旳曲籛C,它是一个单圈形式的曲寝,即任一行于x轴或y軸 的直钱至多和它交于两点,假定C上的点可以由金变数表 =f:(x) 示,并且当由变到勾P依一定方向走完一圈.我們假 定P取这样的走向,使当P按这方向沿C运动时,由C所围 成的面积的点总在P的左边。我們現在来研究这个曲毯C =12(x) 所包的面积 假定这曲殺在x=a,x=b之問,且这两粳与C有 公共点,曲錢的上一部分的方程为y=f(x),下一部分为 不妨假定当由如变为r时,曲籟由A沿y=f2(x)到B.由t变为h1时,曲锓由 B沿y曰f1(x)到A,如此則得所求的面积是 f(s) f2(a)d 中()q'(t)d= dx 同样可以明,这面积也等于 4 de 树1.求椭 b 所包的面积
当由一c变至∞时,图液走了一圈,故面积为 1 1十 刨椭圓面积等于长华軸和短牛軸的乘积的π倍特別当“=b时,便得到圓的面积 2.求x=acos2t,y=bsin3t所包的面积 所求的面积 -, Ia cos:3b sin:+ 3a cos sin +& sin'tlde 3 sin2 t ccs2 恻3.求曲寝 的围部分的面积 我們巳知参变数表示法 y 当z由0到∞时,沿这图餐走了一圈,所以 1「xdv de 9a2+2t 2(1+t) 于是面积等于3 現在考虑极坐标的情况,由 rosa, y =r sin a x〓dcos日-rsin046,dy= dr sin0+rcos0d0 可知 1 r240 因此面积公式的极坐标表示法是 24e 如果要求角θ=a与θ=B之間曲r=r(0)所围成的属形面积,就是
2.+(6)40. 侧4.求 Archimede螺镘r=a0一环的面积 所求的面积为 1 4p2a2 树5.求蝸棱 s6+ 所成的面积 所求的面积为 (a cos0+6)29 I(1a+b0+I asin 20 + 2ab sin O (42+2b2) 例6,求双粧r2=2a2cos20所围成的面积 总面积是右边一块的面积的两倍,故所求的面积为 220210-2 題、求旋輪寝的一支 x=a(t-sint),y=a(1-cost),(0≤t≤2r) 与x轴所围成的面积 §3.利用横断面算体积法 用v代表一个立体的体积,我們取一条谊作为坐标軸,其上取一点作为原点.在离 原点x处作这帕的一个垂直平面,如果知道所求立体在这垂直平面上所截得的面积等于 A(x),則可由定积分来計算这立体的体积