51.重积分的定义………………… 151 §2.可求面积的域 -154 §3.重积分換坐标………………………………………………………………156 54.重积分的基本性 55.三重积分 161 §6.矩 164 §7.曲面的面积 ……167 §8.物对一点的引力 170 补充 174 §9.求面积…………… 174 510.求容积 176 511.求表面积…… 第十六章鬏积分,面积分 19D 51.曲殺积分的定义(第一型)……… …………………190 §2.曲积分(第二型) §3.曲移积分求面积…… 54. Green公式与( cTporpaACKHI公式 198 §5. Stokes公式… 200 §6.与途径无关的曲寝积分 §7.多連通域 §8.筌間与路径无关的殺积分…… §9,流体的稳定流动………………… 第十七章純量場与矢量塌 212 s1.定义 212 §2.三种算子的性盾 213 53.三种算子的迭用……… 214 §4.梯度的几何意义… 215 §5, OcrporpaACKHI- Gauss公式、 Stokes公式的矢量表达形式 56. Nabla算子 57.曲簌坐标及换变数 222 §8.手面場 226 补充…… §9.在流体力学上的应用 23 510.声的传播……… 511.热的传导 237 第十八章曲面的礅分性厦 240 51.代数工具 52. Gauss第一微分型 242 53. Gauss第二微分型 V12
§4.曲面上曲的曲率 §5.点的分类…………… §6,曲率縵 57. Euler公式 §8. Olinde rodrigues公式 59. Dupin定理……… ……252 §10. Gauss曲率的几何意义… 254 §11.曲率中值的儿何意义…… 512.活动标架…… 513.曲面的可展性…… §14.曲面族与偏微分方程 补充用张量分析来处理曲面論… 262 §15.第一基本型 §16.张量……… 263 §17.基本方程之一— Gauss方程……… 266 518.基本方程之一— Weingarten方程 §19, Gauss与 codazzi方程……………… 268 §20.曲率张量……………… 第十九章 Fourier殺数… ……………271 §1.三角函数的正交性 ……271 §2,几个三角殺数的和 §3. Dirichlet积分 …274 §4.方中值醍差及Bese不等式…… 55.收斂判別条件…………………… ………………277 §6.在区間(0,x)上的展开式……… 281 §7. Gibbs現象 …284 §8,均值求和 §9. 等式 §10. Fourier极数可以逐項求积分 511. Fourier系数的性盾 §12, Fourier极数的其他形式 513.实用調和分析—有限調和分析……… 514. Fourier积分…… §15. Fourier变換 §16, Poisson公式…………………… §17. Fourier变換的复数形式… §18.其他变换 第二十章常礞分方程組 §1.化任意的徽分方程粗为一阶微分方程粗 306
52.常微分方程粗 §3.質点的运动方程…………… 310 §4.人造卫垦的軌道方程… 313 §5.軌逍討論——第一、第二宇街速度 316 §6.第三宇宙速度…………………………………… 318 57.質点粗—多体問題 319 58. Lagrange性方程……… 59.篯性方程的一般解………… 326 510.一般一极偏微分方程的解法- Charpit法……… …327 511.上节方法的特例…… 329 索引 橐引二……………………………………………… 336
第十一章积分学的应用 §1.曲耧的长度 弧长的定义.假定A,B是給定的曲耧上的两点,以这两点为端点作这曲的内接 折餞,当这折的边数无限增加,而且每边的长度都趋向于0时,这折掩的周界长趋向的 极限(如果这极限存在的話)叶做这曲在A,B两点之間的弧长。 假定所希的曲餞的参变数表示是 ψ(t) 当t=a及月时所拾出的点就是星点与B点.假定a<B,当4由a变到B时,(x,y)就 沿着曲籁(C)由点A变到点B,又假定q(t)和ψ(t)都有連癥的微商,在弧上取(n+1) 个点 各对应于 f,=B 把M,的坐标記作 p(i,), 則M两与M之間的距等于 )2+(y 因此折餞的总长度等于 φ(a)-q(-)}2+[(x)一虮(t-1)
依定义,A,B围的弧长:等于 im∑√(q(4)-q(4-)+(中()-4(t-)2 由 Lagrange公式,我們有 qp(4)一g( )φ(r), ψ(x)一小(t-)=(t-t-1)(r), 这儿r,r都是(ψ-1,t)之間的值,所以 √(q(2)-q(x-)2+(4(4)-(t=) =(t--)√q(v)+ψ2(x;). √q(x;)+ψ(=√甲(r)+“(+ 則得 =int√q"(r)+ψ(∷)+m}(t-tn-) im∑√q(r)+ψ(x)(-t-)+im∑m(-b-) 前者等于 q2()+ψ2(r)dt 再証后者的极限等于0,由不等式 (这不等式的誑明是 a2+b2 2+ (b-b1)) √a2+bi 可知 ln1<|ψ(x")一ψ(r) 根据ψ(的一致連辕性,給了任意6>0,可找到一个8,使当"-引<B时 的(t")-ψ(t 郎当max4-t-1<a时, 因得所証, A,B两点間的弧长可由公式 )+中2(t)d 表出来 如果t是一变点,則 s() g"2()+ψ2()