由于乘法满足交换率，所以行列式中的项可以写 成 ai22.4njn (11) 其中2.in,jj2.j是两个n级排列。利用排 列的性质可以证明(11)的符号等于 (-1）(46n+x(i2n) （12) 事实上为了根据定义来决定(11)的符号，把 这个元素从新排一下，使得它们的行指标成自 然排列，即排成：
◼ 由于乘法满足交换率，所以行列式中的项可以写 成 （11） 其中 是两个n 级排列。利用排 列的性质可以证明（11）的符号等于 （12） 事实上 为了根据定义来决定（11）的符号，把 这n个元素从新排一下，使得它们的行指标成自 然排列，即排成： n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 n n i i i j j j 1 2 1 2 , ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n i i i + j j j −
a1ra2j3.0w (13 于是它的符号是(-1)i5) (14) 下面证明（12)与（14)是一致的。 由(11)变到（13，经一系列元素对换， 每作一次对换行指标与列指标的排列i,.i 与j2.jn都同时作一次对换，所以和的奇 偶性不变，即 湘 应 超
n a j a j anj 1 1 2 2 （13） 于是它的符号是 （14） 下面证明（12）与（14）是一致的。 由（11）变到（13，经一系列元素对换， 每作一次对换行指标与列指标的排列 与 都同时作一次对换，所以和的奇 偶性不变，即 ( ) 1 2 ( 1) n j j j − n i i i 1 2 n j j j 1 2
(-1)）zn+xU2n） =(-1）12n0+i5%)=(-1)Ui) 行列式又可定义为 C11 a12 an a21 2 02n ∑(-1)-a1a2.an (15 圈
(1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n j j j j j j i i i j j j + + = − = − − = − n n n i i i i i i n i i i n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ( 1) 行列式又可定义为 (15)
·性质1行列互换，行列式不变，即 a12 n C11 a21 (16)》 a21 22 02n a22 . am n2 A2n ann
(15) ▪ 性质1 行列互换，行列式不变，即 （16） n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =
证明左边按行展开=右边按列展开。都为 ∑(-1）Uaa22aw hjzin 在行列式中行与列的地位是对称的，行成立 的性质列也成立。下面讨论的性质都是对行 来说的。 刷 漫 蘭
证明 左边按行展开=右边按列展开。都为 ▪ 在行列式中行与列的地位是对称的，行成立 的性质列也成立。下面讨论的性质都是对行 来说的。 − n n n j j j j j nj j j j a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)