例5.6.3求椭圆 =1所围图形的面积 解：利用对称性，有dA=ydx 4=4ydx 利用椭圆的参数方程 xx+dya x [x =acost ly=bsint (0≤t≤2π) 应用定积分换元法得 A4bsin!(-asint)dr =4absin2idr =4ah:经=xah 当a=b时得圆面积公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 a b 例5.6.3 求椭圆 解: 利用对称性 , d A = y dx 所围图形的面积. 有 = a A y x 0 4 d 利用椭圆的参数方程 (0 2π) sin cos = = t y b t x a t 应用定积分换元法得 = 2 π 0 2 4ab sin t dt = 4ab 2 1 2 π = π ab 当 a = b 时得圆面积公式 x x + d x x y O
般地，当曲边梯形的曲边由参数方程 x=o(t) =Ψ(t) 给出时，按顺时针方向规定起点和终点的参数值1，t2 X a (1对应x=a) (1对应x=b) 则曲边梯形面积 A=jw0o0d BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 O 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积
2.极坐标情形 设p(0)∈C[a,B],p(0)≥0，求由曲线p=p(0及 射线0=a,0=B围成的曲边扇形的面积 在区间，B]上任取小区间[0,0+d8] 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d1=2oPd8 =p(0) 所求曲边扇形的面积为 A=北oao BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . =() d 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 ( ) d 2 1 d 2 A = 所求曲边扇形的面积为 ( )d 2 1 2 A = O x
例5.6.5计算阿基米德螺线p=a0(a>0)对应0从0变 到2π所围图形面积 解A-ao户d0 2兀4， x -16 43a2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例5.6.5 计算阿基米德螺线 对应 从 0 变 解: d ( ) d 2 1 2 a = 2π 0 A 2 2 a = 3 3 1 0 2π 3 2 π 3 4 = a 到 2 所围图形面积 . 2 π a O x
例5.6.6计算心形线p=a1+cos0)(a>0)与圆p=3acos0 所围图形共同部分的面积.心形线 解求出两图的胶点为：以宁？C s-2S-2fe0+o0yd9+且6acu0ra0 -uf0+26s9-1+cgi20+c 1+cos2 _do 2 2 B p=3acos 0 p=a(1+cos 0) 4 2a 3a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例5.6.6 计算心形线 与圆 所围图形共同部分的面积. 解: 求出两图形的交点为： = + + 2 3 3 2 0 2 2 (3 cos ) d 2 1 (1 cos ) d 2 1 2 a a S = 2S1 d 2 1 cos 2 )d 9 2 1 cos 2 (1 2cos 2 3 3 2 0 2 + + + = + + a a 心形线 ) 3 , 2 3 ), ( 3 , 2 3 ( − a C a B