第4节 第四章 分部积分法 由导数公式 (2w)'=u'v+w 积分得： w=∫adr+∫w'dx 。a 分部积分公式 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得 2)∫wdr比∫uw'dx容易计算 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第4节 由导数公式 (uv) = u v + uv 积分得: uv = u vdx + uv dx 分部积分公式 uv dx uv u v dx = − 或 ud v uv v du = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 分部积分法 第四章
例4.4.1求xcosdx. 解：令u=x,v=Cosx, 则u'=1,v=Sinx ∴.原式=xsinx sinxdx =xsInx+cosx+C 思考：如何求x2 sinxdx? 提示：令u=x2,v'=sinx,则 原式=-x2cosx+2 xcosxdx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.1 求 解: 令 u = x, v = cos x, 则 u =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x − sin x dx = xsin x + cos x +C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v = sin x, 则 原式
例4.4.4求∫xInxdx. 解：令u=lnx,v'=x 则 X 原武-1nxxd如 =32nx-2+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C-①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.4 求 x ln x dx. 解: 令 u = ln x, v = x 则 , 1 x u = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2 − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1
例4.45求arcsin xdx. 解：令l=arcsin x,dy=dx 原式=xaresin-了产d =z片别 xarcsin x+v1-x2 C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C-①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.5 求 解: 令 u = arcsin x, dv = d x 原式 = xarcsin x − − x x x d 2 1 = xarcsin x − − + (1 ) d(1 ) 2 1 2 2 x x arcsin 1 . 2 = x x + − x +C
例44.6求∫x2 arctan x dx. 解：令u=arctanx,.dv=xdx-dx 3 原式 arct dx 3 esmx-名0-安 3 3 am-言+97 -x arclanx-1+)+C. 6 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.6 求 arctan d . 2 x x x 解: 令 u = arctan x, 2 3 d 3 1 d v = x d x = x ∴ 原式 x arctan x 3 1 3 = + − x x x d 3 1 1 2 3 x arctan x 3 1 3 = + − − 2 2 ) d 1 1 (1 6 1 x x x arctan x 3 1 3 = ln(1 ) . 6 1 6 1 arctan 3 1 3 2 2 = x x − x + + x +C + + − + 2 2 2 1 d(1 ) 6 1 6 1 x x x