第2节 第十章 常款项级款的审敛法 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第2节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十章
一、正项级数及其审敛法 00 若4n≥0，则称∑4n 为正项级数 n=l 定理1正项级数∑4n收敛 二部分和数列{} n=l (n=1,2,…)有界 证：“→”若∑4n收敛，则{s}收敛故有界 n=1 一”un≥0，.部分和数列{sn}单调递增 又已知{s,}有界故{s,}收敛，从而∑4n也收敛 n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、正项级数及其审敛法 若 0, un n=1 un 定理 1 正项级数 收敛 部分和数列 有界. 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 则 收敛
定理2（比较审敛法） 设∑n∑n 都是正项级数， 且un≤Vn(n=1,2,…） (1)如果级数∑y,收敛，则级数∑4n也收敛： n=1 (2)如果级数 ∑4发散，则级数∑y,也发散 n=1 n=1 证：(1)由定理1可知，当级数∑y收敛时，其部分和 数列必有界，于是有心0，使得 0s∑y≤M BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (比较审敛法) 设 且 (1) 如果级数 则级数 (2) 如果级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散. 都是正项级数, (n＝1,2，…) . 证：(1)由定理1可知，当级数 收敛时，其部分和 数列必有界，于是有M>0，使得
又4n≤n(n=1,2,…),故 0s∑4，≤∑≤M, 因而级数∑4的部分和数列有界，级数∑收敛. m=1 n=1 2)若级数∑4，发散则级数立y,必发散. =1 n=] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 又un≤vn (n＝1,2，…)，故 因而级数 的部分和数列有界，级数 收敛． (2) 若级数 发散, 则级数 必发散．
准论设∑4∑ 都是正项级数，并且4n≤wm 0 (0,n2N,N为某一自然数). (1)如果级数 ∑收敛，则级数∑ 4n也收敛； n=1 n=1 (2)如果级数∑4，发散，则级数∑yn也发散. n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 推论 设 (1) 如果级数 则级数 (2) 如果级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 都是正项级数,并且un≤kvn ( k>0，n≥N，N为某一自然数 )