第5节 第十章 傳里叶级 以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 周期为2的周期函数的傅里叶级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 第十章 傅里叶级数
一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅。o为角频率，o为初相 复杂的周期运动：y=A0+∑A,nsin(nwt+pn） n=1 (谐波迭加 An sin pn cosnot An coson sinnot aoAo,an An sin gn-bn=An cospn>a t=x 得函数项级数 +∑a,COS+b.sinnx) 2 n= 称上述形式的级数为三角级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS -Q0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos + n cosn sin 令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a n x b n x = + + 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数
1.三角级数及三角函数系的正交性 组成三角级数的函数系： l,coSx,Sinx,c0s2x,sin2x,·,cosx,sinx,… 在[-元，π]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，π]上的积分等于零 证：1 cosndx=∫1 -sinnxdx=0 (n=1,2,…) cos kx cosnx dx |cos kxcosnx=[cos(k+n)x+cos(k-n)x] =2∫[cos(k+n)x+cos(k-n)x]dx=0(k≠n) 同理可证：.sinkx sinxdx=0(k≠n) ["sin kx cosnxdx =0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 cos(k n)x cos(k n)x d x π 2 π 1 = + + − − 组成三角级数的函数系： 证: − π π 1 cos nxd x = − π π 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx π π − = 0 sin sin 0 π π = − 同理可证 : kx nxdx 正交 , 上的积分等于零. 即其中任意两个不同的函数之积在 π π sin cos 0 k x nx x d − = (k n ) 1.三角级数及三角函数系的正交性
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一兀， 上的积分不等于零.且有 [1-1dx=2元 cos2nxdx=元 (n=1,2,3,…） ∫sin2nxdr=元 1+cos2nx 1-cos 2nx cos-nx= ,sin2nx= 2 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于零. 1 1d 2 π π π = − x sin nxdx 2 π π − cos n x dx 2 π π − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = π = π 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
2.函数f(x)的傅里叶级数 设f(x)是周期为2π的周期函数，且 00 f(x)=+(a cosb in ① 2 n=l 右端级数可逐项积分，则有 「a,=f()cosndx (n=1,2,3,…)》 b=f(x)sinndx (n=1,2,3,) 证：由定理条件，对①在[一兀，)逐项积分，得 id=2ia+od么mm） =a0元 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − π π π π π π 0 π π d cos d sin d 2 ( )d n n n x a nx x b nx x a f x x ① ② 对①在 逐项积分, 得 2.函数f (x)的傅里叶级数