第6节 第三章 孤微分与曲幸 曲线的弯 〔与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 M 主要内容： 一、弧微分 二、曲率及其计算 三、曲率圆 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第6节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算 三、 曲率圆 M M M 弧微分与曲率 第三章
一、 弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数，其图形为AB 弧长s=AM=s(x) y=f(x) M △S MM'MM' △X MM' △x MM'V(△x)2+(△y)2 MM' △x x+△X MM' =生 MM lim ±1 △x0 MM' :s）=limA=1+yW △x>0△X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 上 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 弧微分 设 y f (x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s AM s(x) x s M M M M x M M M M M M x x y 2 2 ( ) ( ) M M M M 2 1 ( ) x y x s s x x 0 ( ) lim 2 1 ( y ) x O y f (x) A B a b x y x M x x M y lim 1 0 M M M M x
s'(x)=V1+(y)月 ds=+()2dx ds=v(dx)2+(dy)2 若曲线由参数方程表示： x=x(t) y=0 永表示对参 数t的导数 则弧长微分公式为 ds=V2+少2d1 几何意义：ds=MT dx cosa sin a ds ds xx+dx x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2 s (x) 2 1 ( y ) ds 1 ( y ) dx 2 或 2 2 ds (dx) (dy) O x dx dx x y x M dy T 几何意义: ds MT cos ; d d s x sin d d s y 若曲线由参数方程表示: ( ) ( ) y y t x x t 数 的导数 表示对参 t x
二、曲率及其计算 在光滑弧上自点M开始取弧段，其长为△s,对应切线 转角为c,定义 弧段△s上的平均曲率 K M △S 点M处的曲率 △C K lim da △S→0 △S ds 注意：直线上任意点处的曲率为0！ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 , 定义 弧段s上的平均曲率 s K M M s 点 M 处的曲率 s K s 0 lim ds d 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为
例3.6.2求半径为R的圆上任一点处的曲率 解：如图所示 △S=R△a △a K=lim △-→0 △S R 可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害； R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 、 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.6.2 求半径为R 的圆上任一点处的曲率 . 解: 如图所示 , s R s K s 0 lim R 1 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . s R M M