第四章 第3节 第二类换元积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 第二类换元积分法 第四章
第一类换元法解决的问题 ∫fI(x]'(xd=∫fud 难求 易求 |u=p(x) 若所求积分「f(u)du难求， 「fo(x】p'(xdx易求 则得第二类换元积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 f [(x)](x)dx f (u)du u (x) 若所求积分 f [(x)](x)dx 易求, 则得第二类换元积分法. f (u)du 难求
定理设x=W(t)是单调可导函数，且W(t)≠0， f[w(t)]w(t)具有原函数，则有换元公式 ∫f)dk=∫f[w(]w)d=ws 其中t=w(x)是x=必()的反函数 证：设f[yw(t)]yw(t)的原函数为D(t),令 F(x)=D[w'(x)] 则 F'(x) Fdr' -00d/ 「f(x)dx=F(x)+C=[w'(x】+C =∫f[w]w'(d-ws BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 F(x) C (t) f [ (t)](t) 定理 设 x (t) 是单调可导函数 , 且 (t) 0, f [(t)](t)具有原函数 , ( ) ( )d [ ( )] ( )d 1 t x f x x f t t t ( ) ( ) . 其中t 1 x 是 x t 的反函数 证: 设 f [(t)](t)的原函数为(t), 令 ( ) [ ( )] 1 F x x 则 F(x) d t d x t d d f [(t)](t) ( ) 1 t f (x) f (x)dx x C [ ( )] 1 [t] C ( ) 1 t x ( ) [ ( )] ( )d 1 t x f t t t 则有换元公式
例4.3.2求 ∫Na2-x2dx(a>0) 解：令x=asint,t∈(-5，)，则 x Va2 -x2 va2-a2sin2t=acost a dx acostdt ∴.原式=∫acost.acos1dt=a2∫cos2tdt =42d-* sin 2t )+C sin21=2sintcost=2..a a a arcsin+xa2-x2+C 2 a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.2 求 d ( 0) . 2 2 a x x a 解: 令 sin , ( , ), 2 π 2 π x a t t 则 a x a a t 2 2 2 2 2 sin a cost dx a cost d t ∴ 原式 a cost a cost d t a cos t d t 2 2 a C 2 4 sin 2 2 t t a x 2 2 a x t a x arcsin x a x C 2 2 2 1 2 2 a sin 2t 2sin t cost 2 a x 2 2 a x a 2 1 cos2 d 2 t a t
dx 例4.3.3求 (a>0) 解：令x=atant,t∈(-，)，则 Vx2 +a2 va2tan2t+a2 asect dx asec2 td t 娱式-ecd=小ea, In sect+tant C In choc a a =Ix+vx+a+G BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.3 求 ( 0). d 2 2 a x a x 解: 令 tan , ( , ), 2 π 2 π x a t t 则 2 2 2 2 2 x a a tan t a asect dx asec t d t 2 ∴ 原式 a t 2 sec asect d t sect d t ln sect tan t C a x 2 2 x a t C x x a a C a x a x a ln ln ln 2 2 2 2 ln .1 2 2 x x a C