第6节 第五章 定积分在儿何学上的应用 定积分的元素法 二、 平面图形的面积 三、求体积 四、求平面曲线的弧长 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 定积分的元素法 三、求体积 第6节 二、 平面图形的面积 四、 求平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第五章
一、定积分的元素法 需要用定积分来表示的量具有以下共同特征： (1)U取决于一个变量（记作x)的变化区间[a,b]和定义 在该区间上的一个函数孔x); (2)U对于区间[a,b]具有可加性 (3)在区间a,b的子区间x,x+dx]上对应的部分 量△乙U能近似地表示x)与dx的乘积，即△UU≈fx)dx. 通常把△U的近似值(x)dx称为量U的元素（或微元）， 且记作dUU w=dy=心fcx)dk BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的元素法 需要用定积分来表示的量U具有以下共同特征： (1)U取决于一个变量(记作x)的变化区间[a，b]和定义 在该区间上的一个函数f(x)； (2)U对于区间[a，b]具有可加性． (3)在区间[a，b]的子区间[x，x＋dx]上对应的部分 量ΔU能近似地表示f(x)与dx的乘积，即ΔU≈f(x)dx. 通常把ΔU的近似值f(x)dx称为量U的元素(或微元)， 且记作dU d ( )d . = = b a b a U U f x x
二、平面图形的面积 1.直角坐标情形 yt y=f(x) 设曲线y=f(x)(C0)与直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围曲 边梯形面积为A,则 O axb x x dx d4=f(x)dx =(x)y=f2(x) A=["f(x)dx 右下图所示图形面积为 A=∫fx)-2(x)dx axx+dx h x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 y a b x ( ) 2 ( ) y = f x 1 y = f x O 二、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 dA = f (x)dx A f x x b a ( )d = 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 A f x f x x b a ( ) ( ) d = 1 − 2 O a b x y y = f (x) x + dx x x x + d x
例5.6.1计算两条抛物线y2=x,y=x2在第一象限所围 图形的面积 =x 得交点(0,0)，(1,1) A=∫0(x-x2dr - +dx 3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例5.6.1 计算两条抛物线 在第一象限所围 图形的面积 . 解: 由 得交点 (0, 0) , (1,1) d A ( x x )dx 2 = − 3 1 = = 1 0 A x y O y = x 2 2 y = x x x + d x (1,1) 1
例5.6.2计算抛物线y2=x与直线y=x-2所围图形 的面积 =x 解：由 v=x-2 得交点 y+dy (1,-1),(4,2) 为简便计算，选取y作积分变量， y=x-2 则有 :A=[I(y+2)-yldy =6+2y-明- BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 O y = x 2 y = x − 2 x y 例5.6.2 计算抛物线 y = x 2 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 (1, −1) , (4, 2) (4,2) . 2 9 = y = x − 2 所围图形 (1,−1) 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 − = + − 2 1 2 A [( y 2) y ]dy y y + d y