第1节 第十章 常数页级数的橇念和性质 常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 第1节 第十章
一、常数项级数的概念 引例圆的面积问题 依次作圆内接正3×2”(n=1,2,…)边形，设a1表示 内接正六边形面积，4，表示边数增加 时增加的面积如此继续进行次， Sn=a1+a2+…+am n→∞时，这个和越近似于圆的面积S 即 S limS,=lim(a +a,+..+a ) 1n>00 n→c0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、常数项级数的概念 引例 圆的面积问题. 依次作圆内接正 边形, 这个和越近似于圆的面积 S . 设 a1 表示 即 内接正六边形面积, ak 表示边数增加 时增加的面积,如此继续进行n次
定义1设给定一个数列4,42,4，…，4n,…将各项依 次相加，简记为∑4n,即 n=1 ∑4n=41+42+5+…+4n+ n=1 称上式为无穷级数其中第n项un称为级数的一般项 级数的前n项和 sn=∑4，=h+功+43+…+47 i=1 称为级数的部分和： BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义1 设给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 , 1 n= n u 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 称为级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为
定义2如果级数∑4，的部分和数列{sn}有极限s,即 n= lim S =S 1n→00 则称无穷级数收敛，s称为级数的和，记作 s=∑4n=41+42+…+n+… 如果{s}没有极限，则称无穷级数发散，这时级数没 有和 当级数收敛时，其部分和s是级数和s的近似值，称 ,=s-sn=4n+1十4n+2十..+4n+k+为级数∑4，的 余项 n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 如果{sn}没有极限，则称无穷级数发散，这时级数没 有和． 当级数收敛时，其部分和sn是级数和s的近似值，称 rn ＝s－sn ＝un+1＋un+2＋…＋un＋k＋…为级数 的 余项． 则称无穷级数收敛， s称为级数的和，记作 如果级数 的部分和数列{s 定义2 n}有极限s，即
例10.1.3讨论公比为g的等比级数 (又称几何级数 00 ∑ag”=a+ag+ag2++ag”+…(a≠0) n=0 的敛散性 解：若q≠1，则部分和 Sn=a+aq+aq+…+ag1- a-aq" 1-q 当g<1时，由于1img”=0,因而lims=产g 1n→00 等比级数收敛，其和为 当g>1时，由于1imq”=o,因而lims.=o, 1n→00 n>a∞ 这时等比级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.1.3 讨论公比为q 的等比级数 (又称几何级数) 的敛散性. 解: 若 q a a q n − − = 1 因而 1 lim a n q n s − → = 等比级数收敛 , ; 1 q a − 因而 lim , n n s → = 则部分和 这时等比级数发散 . 其和为