第3为 第六章 平面及其方程 平面的点法式方程 二、 平面的一般式方程 三、两个平面的夹角 四、平面外一点到平面的距离 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般式方程 三、两个平面的夹角 平面及其方程 第六章 四、平面外一点到平面的距离
一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(xo,y,2o)且垂直于非零向 量=(A,B,C),求该平面I的方程 任取点M(x,y,)eⅡ，则有 MoM Ln 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0y-0,2-0） A(x-xo)+By-yo)+C(2-0)=0 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 O z y x M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的
例6.3.2求过两点M1(1,0,-1),M2(-2,1,3),并且与向量 a=2-+平行的平面的方程 解：取法向量为 n=a×MM2={2,-1,1}×{-31,4} 2 -1 ={-5,-11,-1} -31 4 =-{5,11,1} 又M(1,0,-1),则所求平面的方程为 5(x-1)+11(y-0)+(z+1)=0, 即 5x+11y+z-4=0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 i j k = 例6.3.2 求过两点 (1,0, 1), 又M1 − = −{5,11,1}. 解: 取法向量为 a = 2i－j＋k平行的平面的方程. 则所求平面的方程为 2 −1 1 −3 1 4 n {2, 1,1} { 3,1,4} = aM1 M2 = − − ={−5,−11,−1}
二、平面的一般式方程 设有三元一次方程 Ax+By+C=+D=0(42+B2+C2#0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,y%,0,则 4xo+Byo+Czo+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-xo)+B(y-y0)+C(2-2o)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 式方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般式方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 式方程
Ax+By+Cz+D=0(42+B2+C20) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面 ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥i,平面平行于x轴： ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面 ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面； ·Cz+D=0表示平行于xOy面的平面， ·Ax+D=0表示平行于yOz面的平面； ·By+D=0表示平行于zOx面的平面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D = 0 表示 Ax + By +Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B +C 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xOy 面 的平面; 平行于 yOz 面 的平面； 平行于 zOx 面 的平面. n = (0,B,C) ⊥ i