第3节 第十章 幂级数 一、 函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十章
函数项级数的概念 设4n(x)(n=1,2,…)是定义在区间1上的函数列 ∑4，(x)=4(x)+4,(x)+4(x)++4,(y)+… n= 为定义在区间I上的（函数项）级数 对x0∈l,若常数项级数∑un(x)收敛，称x为其收 n=] 敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域； 若常数项级数∑4n(xo)发散，称x,为其发散点，所有 n=1 发散点的全体称为其发散域 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、函数项级数的概念 设 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x u x 为定义在区间 I 上的(函数项)级数. 对 , 0x I 若常数项级数 1 0 ( ) n n u x 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 1 0 ( ) n n u x 是定义在区间 I 上的函数列, 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n 1,2,) n 发散点的全体称为其发散域
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 S(x)=∑4n(x) n=l 若用Sn(x)表示函数项级数前n项部分和，即 S,(x)=∑4，(x) 令余项， (x)=S(x)-S,(x) 则在收敛域上有 lim S,(x)=S(x), lim r (x)=0 n-→o0 n→o∞ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 S(x) , 为级数的和函数 , 并写成 ( ) ( ) 1 S x u x n n 若用 S (x) n 1 ( ) ( ) n n i i S x u x 令余项 r (x) S(x) S (x) n n 则在收敛域上有 lim S (x) S(x) , n n lim ( ) 0 r x n n 表示函数项级数前 n 项部分和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它
例10.3.1考察级数 ∑x”=1+x+x2++x”+… n=0 的收敛域和发散域 解它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 ∑x”=, n=0 它的发散域是(-o,-1]及[1，+∞)，或写作x≥1. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.3.1 考察级数 解 它的收敛域是(1,1 ) , ( , 1 ] 及 [1， ）, n n n x x x x 2 0 1 x x n n 1 1 0 它的发散域是 或写作 x 1. 当x(1,1)时, 有和函数 的收敛域和发散域．
二、幂级数及其收敛性 形如 ∑an(x-x)”=a0+a1(x-xo)+a2(x-x2+ n=0 …+an(x-xo)”+… 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,l,)称 为幂级数的系数 下面着重讨论x0=0的情形，即 ∑anx”=0+ax+a2x2+…+anx”+ n=0 例如，幂级数 ”=x<1即是此种情花 n=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数及其收敛性 形如 0 0 ( ) n n n a x x 2 0 1 0 2 0 a a (x x ) a (x x ) 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 a (n 0,1,) n 下面着重讨论 0 x0 n0 n n a x a0 a1x a2 x 2 an x n 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 an (x x0 )n 称