第3节 第五章 微积分基本公式 变速直线运动中位置函数 与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 一、变速直线运动中位置函数 与速度函数之间的联系 第3节 微积分基本公式 第五章
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 在变速直线运动中，已知位置函数s()与速度函数v( 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[，T,]内经过的路程为 v()d1=s(T3)-s(I）) 这里s(t)是v()的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
二、积分上限的函数及其导数 定理1如果函数x)在区间[a,b]上连续，则积分上 限的函数 )=f()d 在区间[a,b]上可导，且 oe)=d-(rea=)创 定理2 如果x在[a,b上连续，则D()=∫。f)d 就是x)在[a,b]上的一个原函数. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数 = x a (x) f (t)dt 定理1 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分上 限的函数 在区间[a，b]上可导，且 定理2 如果f(x)在[a，b]上连续，则 就是f(x)在[a，b]上的一个原函数．
说明： 1)定理2证明了连续函数的原函数是存在的.同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 2)其他变限积分求导 70d=-网 &g7ed-jipx1pe &Jrod-=[ad+ged] f[p(x)]o(x)-f[w(x)]y'(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 定理 2 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导: ( ) ( )d d d x a f t t x = f [(x)](x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x = f [(x)](x) − f [(x)](x) + = ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x
三、牛顿一莱布尼茨公式 定理3设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原 函数，则〔Cf(x)dx=F(b)-F(a)(牛顿-莱布尼茨公式) 证：根据定理2，∫。f(x)dr是f()的一个原函数，故 F(x)=["f(x)dx+C 令x=a,得C=F(a),因此∫f(x)dx=F(x)-F(a) 再令x=b,得 7r=Fb-Fa作[r治盛r8 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − ( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证: 根据定理2, 故 F x f x x C x a = + ( ) ( )d 因此 f (x)dx F(x) F(a) x a = − 得 记作 定理3 函数 , 则 或