第5为 第六章 曲面及其方程 一、 曲面方程的概念 二、几种特殊的曲面 三、几种常见的二次曲面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、曲面方程的概念 二、几种特殊的曲面 三、几种常见的二次曲面 曲面及其方程 第六章
一、曲面方程的概念 引例：求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解：设轨迹上的动点为M(x,y,z),则AM=BM,即 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2 化简得 2x-6y+2z-7=0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面！ 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x 1) ( y 2) (z 3) 化简得 2x 6y 2z 7 0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 (x 2) ( y 1) (z 4) 解:设轨迹上的动点为M (x, y,z),则 AM BM , 轨迹方程
定义如果曲面S与三元方程(x,yz)=0有下述关系： (1)曲面S上的任一点的坐标都满足此方程 (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足此方程 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程， F(x,y,2)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时 求曲面方程 (2)已知方程时，研究它所表示的曲面形状 (必要时需作图) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义 F(x, y,z) 0 如果曲面 S 与三元方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任一点的坐标都满足此方程 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足此方程 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的曲面形状 ( 必要时需作图 ). S z y x O
二、几种特殊的曲面 1.球面 设动点M(x,y,)到定点Mxo,0,0)距离恒等于常 数R,那么，动点的运动轨迹是中心在点M、半径 为R的球面 RMM=V(x-x)2+(y-y)2+(2-o)》 (x-x)2+(y-y)2+(2-20)2=R2. 如果球心在坐标原点，即x=y%==0,则球面方程 x2+y2+z2=R2. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 1.球面 二、几种特殊的曲面 设动点M(x，y，z)到定点M0(x0，y0，z0)距离恒等于常 数R，那么，动点M的运动轨迹是中心在点M0、半径 为R的球面. 2 0 2 0 2 0 0 R | M M | (x x ) ( y y ) (z z ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 0 2 0 2 x x0 y y z z R 如果球心在坐标原点，即x0＝y0＝z0＝0，则球面方程 . 2 2 2 2 x y z R
例6.5.1方程x2+y2+z2-2x-4y-4=0表示怎样 的曲面 解：配方得(x-1)2+(y-2)2+z2=9 可见此方程表示一个球面 球心为M(1,2,0), 半径为3 说明：如下形式的三元二次方程(A≠0) A(x2+y2+z2)+Dx+Ey+Fz+G=0 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 一个球面或虚轨迹， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例6.5.1 方程 2 4 4 0 2 2 2 x y z x y 解: 配方得 M0 (1,2, 0), 3 可见此方程表示一个球面 说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 ( ) 0 2 2 2 A x y z Dx Ey Fz G 球心为 一个球面, 或虚轨迹. ( 1) ( 2) 9 2 2 2 x y z