第4为 第十章 岛数展开成暴级数 泰勒级数 二、 函数展开成幂级数 三、函数的幂级数展开式的应用 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第4节 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十章 三、函数的幂级数展开式的应用
一、泰勒级数 复习：f(x)的n阶泰勒公式 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有 f(x)=f(%o)+f(%o)x-xo)+I"o(x-xo) 2川 ++fm（g-y+R, n! 其中Rn(x) f”(-(5在x与之间 (n+1)川 称为拉格朗日余项 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、泰勒级数 其中 Rn (x) = ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项. 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f 则在 复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 :
若函数f(x)在x的某邻域内具有任意阶导数，则称 f)+FGox-x)+2(x-,月 21 ((x)"+ nl 为f(x)的泰勒级数 当x,=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(x)? BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数. 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数
定理1 设函数f(x)在点x的某一邻域U(xo)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式余项满足：1imR,(x)=0. n->oo 证九-三/：-x八、a k=0 f(x)=S(x)+R,(x) lim R,(x)lim [f(x)-S,+(x)]=0,xEU(xo) n-→o0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理1 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 xU x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 xU x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有
定理2如果f(x)能展开成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同 证：设f(x)所展开成的幂级数为 f(x)=ao+ax+a2x2+…+anx”+…,x∈(-，R) 则 a=f(0) f'(x)=4+2a2x++nanx+;a,=f(0) f"(x)=21a2++nn-1)anx-2+…;a2=f"(0) f((x)=nlan+.. an =mf((0) 显然结论成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 如果f (x) 能展开成 x 的幂级数, 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展开成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f x = a1 + a2 x ++ nan x n− + (0) 1 a = f ( ) 2! ( 1) ; 2 f x = a2 ++ n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立 . (0) 0 a = f 则这种展开式是