例 复变函数与积兮变换 4 4 4 2 4n+3 4 4
例 1.2 1 i i, 2 i 1, 3 2 i i i i, 4 2 2 i i i 1, …… 1, 4 n i , 4 1 i i n 1, 4 2 n i 4 3 , n i i 4 4 1. n i
例13设z1,z2是两个复数,证明 复变函数与积兮变换 z2+212=2Re(x12) 证明因为 z12=z122=212 所以由运算规律7,有 1z2+12=12+x1z2=2Re(x1z 本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明
例1.3 设z1 , z2是两个复数, 证明 z1 z 2 z1z2 2Rez1 z 2 . 证明 因为 1 2 1 2 1 2 z z z z z z , 所以由运算规律7，有 z1 z 2 z1z2 z1 z 2 z1 z 2 2Rez1 z 2 . 本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明
1.1.3复平面与复数的表示法 复变 给定一复数x=x+y在坐标平面XO上存 函在惟一的点P(x)与x+对应反之,对XOY 数 与平面上的点Px,存在惟一的复数=x+yi与它 和对应根据复数的代数运算及向量的代数运算 或的定义知这种对应构成了同构映射因此可以 换用XO平面上的点表示复数乙 这时把XOY平面平 z=x+iy 面称为复平面.有时简 J 1(x,y) 称为z平面
给定一复数z=x+yi, 在坐标平面XOY上存 在惟一的点P(x,y)与z=x+yi对应. 反之, 对XOY 平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数z=x+yi与它 对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算 的定义知这种对应构成了同构映射. 因此可以 用XOY平面上的点表示复数z. ( x, y) x y x y o 这时把XOY平面平 z x iy 面称为复平面. 有时简 称为z平面. 1.1.3 复平面与复数的表示法
显然,实数与x轴上的点一一对应,而x轴以 复 安外的点都对应一个虚数纯虚数(y≠0)与轴 画上的点除原点对应.因此,称轴为实轴,y轴 数与积分变 为虚 后把复平面上的点和复数z不加区别,即 “点x”和“复数x”是同一个意思.有时用C表示 全 换体复数或复平面 复数也可以用以原点 =x+iy 为起点而以点P为终点的向 0量表示(如图
显然, 实数与x轴上的点一一对应, 而x轴以 外的点都对应一个虚数, 纯虚数 与y轴 上的点(除原点)对应. 因此, 称x轴为实轴, y轴 为虚轴. iy y 0 今后把复平面上的点和复数z不加区别, 即 “点z”和“复数z”是同一个意思. 有时用C 表示 全 体复数或复平面. x y x y o z x iy P 复数z也可以用以原点 为起点而以点P为终点的向 量表示(如图)
复 这时复数加、减法满足向量加、减法中的平 变行四边形法则 数 用OP表示复数时,这个向量在x轴和y轴上 与的投影分别为x和 积 把向量OP的长度r称为复数z的模或称为z 变的绝对值,并记做z显然 换 =r=√x+y, Z=rtly zsx+v,kx<1,vsk
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平 行四边形法则. 用 表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上 的投影分别为x和y. OP 把向量 的长度r 称为复数z的 或称为z 的绝对值, 并记做|z|. OP x y x y o z x iy P 显然 2 2 z r x y , z x y , x z , y z