复变函数与积兮变换 第四章留数及其应用 §4.1孤立奇点 §4.2留数的一般理论 §4.3函数在无穷远点的留数 §4.4留数的应用
第四章 留数及其应用 §4.1 孤立奇点 §4.2 留数的一般理论 §4.3 函数在无穷远点的留数 §4.4 留数的应用
复变面数与积 主要内容 本章介绍孤立奇点、留数的概念; 变孤立奇点处留数的计算:并将其应用于 换实函数积分的计算
主 要 内 容 本章介绍孤立奇点、留数的概念； 孤立奇点处留数的计算；并将其应用于 实函数积分的计算
复变函数与积兮变换 84.1孤立奇点 1可去奇点 2极点 3本性奇点
§4.1 孤立奇点 1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点
本章将利用函数的 Lauren级数展开式研究 复变面数与积 变函数在孤立奇点处的性质 如果函数∫()在动点不解析,则称z是f(z)的 个奇点如果a是f(z)的一个奇点,且存在δ>0, 分使得/(在0<z-动<6解析,则称a是f()的 变孤立奇点 换 SInz 例如x=0是函数e和—的孤立奇点但z=0 不是函数“的孤立奇点,因为(k=土1,+2,…) SIn 都是奇点
本章将利用函数的Laurent级数展开式研究 函数在孤立奇点处的性质. 如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的 一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d >0, 使得f (z)在 内解析，则称z 0 − z z0 d 0 是f (z)的 孤立奇点. 例如z=0是函数 和 的孤立奇点. 但z=0 1 z e sin z z 都是奇点. 不是函数 的孤立奇点, 因为 1 ( 1, 2, ) k k = 1 sin z z
复 若是∫(z)的孤立奇点,此时f(z)在圆环域 变0<-k-列<内解析根据 Laurent级数展开定理, 则f(可以展开为 Laurent级数 与 f(l)=∑cn(z-zn 积 n=-0 变其中cn=1 么 f(z) n+1 dz(n=0,±1,±2,…),C是 2ri(z-zo) 换 为中心,半径小于δ的圆周的正向 根据 Lauren级数展开式的系数cn的不同情况, 可以把f(z)的孤立奇点进行分类
则f (z)可以展开为Laurent级数 0 ( ) ( ) , n n n f z c z z =− = − 其中 1 0 1 ( ) d ( 0, 1, 2, ), 2 ( ) n n C f z c z n i z z + = = − C是 z0为中心, 半径小于d 的圆周的正向. 根据Laurent级数展开式的系数cn的不同情况, 可以把 f (z)的孤立奇点进行分类. 若z0 是 f (z)的孤立奇点，此时f (z) 在圆环域 0 0 − z z d 内解析, 根据Laurent级数展开定理