冷定理168:F()与F()是域F上的两个单代 数扩域,a与β在F上具有相同的极小多项 式p(x)∈F[]则:F(a)≌F(β) 冷证明:设degp(x)=n,由定理167知 冷F(a)F区x](p(x) 冷由定理16,7知Fx](p(x)F(β) 因此F(x)≌F()
❖ 定理16.8:F()与F()是域F上的两个单代 数扩域, 与在F上具有相同的极小多项 式p(x)F[x],则:F()≌F()。 ❖ 证明:设degp(x)=n,由定理16.7知 ❖ F()≌F[x]/(p(x)) ❖ 由定理16.7知F[x]/(p(x))≌F() ❖ 因此F()≌F()
冷定理169:域FF’p为其同构映射,B分 别为F与F的代数元,其极小多项式分别为 p(x=∑ax2,p()=∑x,并且0(n) 2l≤ 则F(x)≌F(B) 要注意定理中的要求:0(1)=a 如果不满足此条件结论不一定成立
❖ 定理16.9:域F≌F' ,为其同构映射,,分 别为F与F'的代数元,其极小多项式分别为: p(x) a x , n 1 i 1 i i − = = − = = n 1 i 1 i i p(x) a x , (a ) 并 且 i a ,i 1, ,n 1, = i = − 则F()≌F'()。 要注意定理中的要求: = ai (a ) i 如果不满足此条件,结论不一定成立
冷设F(a)…(n)表示是通过n次单扩张构成 的关于F的扩域,它是否为代数扩域? 定理:设E为F上的有限扩域,则E是F上 的代数扩域。 分析:关键证明E上每个元素a都是代数元 即找根为a的多项式∈F[x]
❖ 设F(1 )…(n )表示是通过n次单扩张构成 的关于F的扩域，它是否为代数扩域？ ❖ 定理：设E为F上的有限扩域，则E是F上 的代数扩域。 分析:关键证明E上每个元素a都是代数元. 即找根为a的多项式F[x]
代数扩域不一定是有限扩域。 E是Q上的所有代数元全体构成的域,若 [E:Q]有限设为n 冷f(x)=xn+1+2x+2∈Q[×不可约 冷设a为f(x)的根,则1,ax,2,…,线性无关, 冷所以[E:Q]n+1,矛盾
❖ 代数扩域不一定是有限扩域。 ❖ E是Q上的所有代数元全体构成的域,若 [E:Q]有限,设为n. ❖ f(x)=xn+1+2x+2Q[x],不可约 ❖ 设为f(x)的根,则1,,2 ,n线性无关, ❖ 所以[E:Q]n+1,矛盾
三、多项式根域 定义16.8:F为域,f(x)∈F[x,degf(x)=n≥1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘 积 (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次 因子的乘积。 则称N为多项式x)在上的捉域,或简 称域
三、多项式根域 定义16.8:F为域,f(x)F[x],degf(x)=n1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘 积; (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次 因子的乘积。 则称N为多项式f(x)在域F上的根域,或简 称根域