如何判别一个多项式不可约,并没有一个行 之有效的方法 1在无限数域上的不可约多项式问题 复数域上的任何多项式都是可约的。 实数域上任何多项式,根据复根共轭的性质, 知道实数域上只有2次不可约多项式。 有理数域,存在任意次不可约多项式
如何判别一个多项式不可约，并没有一个行 之有效的方法 1.在无限数域上的不可约多项式问题 复数域上的任何多项式都是可约的。 实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质， 知道实数域上只有2次不可约多项式。 有理数域，存在任意次不可约多项式
定理1:若m次整系数多项式f(x)∈Zx在有理 数域Q上可约,则x)在整数环Z上一定可约。 定理2(艾森斯坦( Eisenstein判别法):设 f(x)=a0+a1x+,+anx是整系数多项式,若能 找到一个素数p,使得 (1)不能整除an (2)plao, a12",am19 (3)p不能整除a; 那么,(x)在有理数域上不可约
定理1：若n次整系数多项式f(x)∈Z[x]在有理 数域Q上可约，则f(x)在整数环Z上一定可约。 定 理 2(艾森斯坦 (Eisenstein)判别法 )： 设 f(x)=a0+a1x+…+anx n是整系数多项式，若能 找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0 ,a1 , ┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约
艾森斯坦判别法是充分条件,不满足定理2 的多项式,不一定就可约。 如x2+3x+2和x2+1,都不满足定理2条件 前者在有理数域上可约,后者不可约
艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2 的多项式，不一定就可约。 如x 2+3x+2和x 2+1，都不满足定理2条件， 前者在有理数域上可约，后者不可约
2有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式,最直观的就是将 域上所有m次多项式按次数列成表, 次数小的在前面,大的在后,次数相等的按 某种规定排列先后,排在最前面的多项式就 是不可约的,把它圈出来 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就 是不可约的, 重复这一过程即可,但当n适当大时,工作 量就很大
2.有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式，最直观的就是将 域上所有n次多项式按次数列成表， 次数小的在前面，大的在后，次数相等的按 某种规定排列先后，排在最前面的多项式就 是不可约的，把它圈出来， 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就 是不可约的， 重复这一过程即可，但当n适当大时，工作 量就很大
设(x)是F(q=p)上的n次多项式, 如果()=0则x)有因子x,故敢(x)可约 如果f0)≠0,若f(x)可约,则x)必有次数≤m/2 的不可约因式g(x)。 设g(x)次数为m,因为g(x)是有限域F上的m次 不可约多项式,则根据有限域上不可约多项 式根域的结论知,g(x)xq1-1,即f(x)与xq"-1 有次数大于1的公因子。 检验f(x)是否可约,只要考察下列最大公因子: (fx),xn1-1),对i=1,2,m/2,如果这些最 大公因子都是1,则x)不可约
设f(x)是F(q=pk )上的n次多项式， 如果f(0)=0,则f(x)有因子x,故f(x)可约. 如果f(0)0，若f(x)可约，则f(x)必有次数n/2 的不可约因式g(x)。 设g(x)次数为m,因为g(x)是有限域F上的m次 不可约多项式，则根据有限域上不可约多项 式根域的结论知，g(x)|xqm-1 -1,即f(x)与x qm-1 -1 有次数大于1的公因子。 检验f(x)是否可约，只要考察下列最大公因子： （f(x)，x q i -1 -1）,对i=1,2, ┅,[n/2],如果这些最 大公因子都是1，则f(x)不可约