定理158:对f(x)∈Fx],g(x)∈Fx,g(x)≠0, 存在唯 的q(x),r(x)∈Fx], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得 f(x=g(x)q(x+r(x) 当fx)=g(x)q(x)+r(x)中的r(x)=0时,称x) 可被g(x)整除,记为g(x)|x,称g(x)为x)的 个因子,qx)为商;r(x)≠0时称q(x)为不 完全商而r(x)为余式。 推论152:x),(x-a)∈F|x],则f(x)被(x-a)除 的余式为f(a)
▪ 定理15.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0, 存 在 唯 一 的 q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)。 ▪ 当f(x)=g(x)q(x)+r(x)中的r(x)=0时, 称f(x) 可被g(x)整除,记为g(x)|f(x),称g(x)为f(x)的 一个因子,q(x)为商;r(x)0时,称q(x)为不 完全商,而r(x)为余式。 ▪ 推论15.2:f(x), (x-a)F[x],则f(x)被(x-a)除 的余式为f(a)
推论15.3:fx)∈F|x],a∈F(x-a)(x)当且仅 当fa)=0。 定义1510:“(x),g(x),h(x)∈Fx当h(x)f(x) 且h(x)g(x)时,称h(x)为x)和g(x)的公因 子;若对任c(x)∈Fx,c(x)(x),且c(x)g(x)时 必有c(x)h(x2则称h(x)为fx)和g(x)的最大 公因子记为h(x)=GCD(r(x),g(x),简记 为((x),g(x) 例:在Z3x]中,邱x)=2x4+1,g(x)=x5+2,求 它们的最大公因子
▪ 推论15.3：f(x)F[x],aF,(x-a)|f(x)当且仅 当f(a)=0。 ▪ 定义15.10：f(x),g(x),h(x)F[x],当h(x)|f(x) 且h(x)|g(x)时，称h(x)为f(x)和g(x)的公因 子;若对任c(x)F[x],c(x)|f(x),且c(x)|g(x)时 必有c(x)|h(x),则称h(x)为f(x)和g(x)的最大 公因子,记为h(x)=GCD(f(x),g(x))，简记 为(f(x),g(x))。 ▪ 例：在Z3 [x]中，f(x)=2x4+1,g(x)=x5+2,求 它们的最大公因子
定理159:(1)GCD(f(x),g(x)可用类似于上 述方法求得; (2)当h(x)=GCD(x,2g(x)时,必存在 s(x),t(x)∈Fx],使h(x)=s(x)f(x)+(x)g(x) FCFX, F=F-{0},任意a∈F存在逆元 对于Fx中其他元素f(x),当 deaf(x)>0,不 存在g(x)∈Fxl使得x)(x)=1 这里1是域F的单位元 对F[x中有逆元的元素称为可逆元
▪ 定理15.9:(1)GCD(f(x),g(x))可用类似于上 述方法求得; ▪ ( 2 ) 当 h(x)=GCD(f(x),g(x)) 时 , 必 存 在 s(x),t(x)F[x]，使h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x) ▪ FF[x],F*=F-{0},任意aF* ,存在逆元 ▪ 对于F[x]中其他元素f(x),当degf(x)>0, 不 存在g(x)F[x],使得f(x)g(x)=1. ▪ 这里1是域F的单位元. ▪ 对F[x]中有逆元的元素称为可逆元
定义15:当a∈F|x,并存在a1∈F|x使aa1=1 时称a为F|x中的可逆元否则称为不可逆元 F区x]中可逆元全体就是F,F[x-F是其不可逆 元全体组成的集合
▪ 定义15.11:当aF[x],并存在a -1F[x],使aa-1 =1 时,称a为F[x]中的可逆元,否则称为不可逆元。 ▪ F[x]中可逆元全体就是F* ,F[x]-F*是其不可逆 元全体组成的集合
定义15.12:f(x)∈Fx,如果存在h(x),t(x),使 得邱x)=h(x)(x),当degh(x)2degt(x)≥1时称 f(x)为F上的可约多耍式当h(x)和(x)中必 有一个为零次多项式设deh(x)=0,即 h(x)∈F为可逆元称x)为不可约多项式 或说f(x)在域F上不可约。 对于实数域上多项式因式分解, 可约与不可约 x22x3=(x-3)(x+1),x2-x-6=(x-3)(x+2) x2x-3和x2-x-6都是可约多项式,并且有公 因子(x-3) x2+1在实数域上不可约
▪ 定义15.12:f(x)F[x],如果存在h(x),t(x),使 得f(x)=h(x)t(x),当degh(x),degt(x)1时,称 f(x)为F上的可约多项式; 当h(x)和t(x)中必 有一个为零次多项式,设degh(x)=0,即 h(x)F*为可逆元,称f(x)为不可约多项式, 或说f(x)在域F上不可约。 ▪ 对于实数域上多项式因式分解, ▪ 可约与不可约 ▪ x 2 -2x-3=(x-3)(x+1), x 2 -x-6=(x-3)(x+2) ▪ x 2 -2x-3和x 2 -x-6都是可约多项式,并且有公 因子(x-3). ▪ x 2+1在实数域上不可约