三、拉格朗日定理 定理:G是群H是G的子群则H在G中 的左陪集数与右陪集数相等 定义1414:H为G的子群关于H的所有 不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 [E;+是z;十]的子群,E在Z中指数?
三、拉格朗日定理 ❖定理:G是群,H是G的子群,则H在G中 的左陪集数与右陪集数相等. ❖ 定义14.14：H为G的子群,关于H的所有 不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 ❖ [E;+]是[Z;+]的子群，E在Z中指数？
定理1417:G为有限群,H为其子群,则H 的阶可以整除G的阶其相除的商就是H在 G中的指数k 例:设a为有限群[G]的元素,则a的阶整 除|G| 例:G为有限群,阶为素数p,则[G;是 循环群
❖ 定理14.17：G为有限群,H为其子群, 则H 的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在 G中的指数k。 ❖ 例：设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整 除|G|。 ❖ 例：G为有限群，阶为素数p，则[G;*]是 循环群
≠0,a,b,c,d∈R} C H ≠0,a,b,c,d∈Q} c a a H= d22 a,b,c,d∈Q 20 2a√2b la,b,c,d∈Q 0 左右陪集不等 而z;+R;+]子君对任意的 a∈R,a+Z=Z+a,左右陷集相 正规子群
{ | 0,a,b,c,d R} c d a b c d a b G = { | 0,a,b,c,d Q} c d a b c d a b H = | a, b, c,d Q} 2c d 2a b H { 0 1 2 0 = | a, b, c,d Q} c d 2a 2b { 0 1 2 0 H = 正规子群 左右陪集相同 而 是 的子群但对任意的 左右陪集不等 a R, a Z Z a, [Z; ] [R; ] , + = + + +
四、正规子群 定义1415:H为群G的子群,当对任意的 g∈GgH=Hg,称H为G的正规子群也可称 为不变子群。 例:任意Abe群的子群都是正规子群。 三次对称群S3={eo1σ2,o3,o4o5}的所 有非平凡子群是:H1=e,1};H2={e,o2》}; H3={e,o3;H4={e,o4,os}。其中只有H4 是正规子群
四、正规子群 ❖ 定义14.15：H为群G的子群,当对任意的 gG,gH=Hg,称H为G的正规子群,也可称 为不变子群。 ❖ 例：任意Abel群的子群都是正规子群。 ❖ 三次对称群S3={e,1 , 2 , 3 , 4 , 5 }的所 有非平凡子群是: H1={e, 1 }; H2={e, 2 }; H3={e, 3 }; H4={e, 4 , 5 }。其中只有H4 是正规子群
(1)H为正规子群,则应对G中每个元素g 都有Hg=gH (2)正规子群的前提要求是H为子群。 冷(3)Hg=gH是表示两个集合相等,并不意 味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hg≠gh (4Hg=gH是指,对任意h∈H,总存在 h'∈H,使得hg=gh
❖ (1)H为正规子群，则应对G中每个元素g 都有Hg=gH ❖ (2)正规子群的前提要求是H为子群。 ❖ (3)Hg=gH是表示两个集合相等，并不意 味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hggh。 ❖ (4)Hg=gH是指，对任意hH，总存在 h'H ，使得hg=gh