参考书 近世代数吴品三人民教育出版社 代数结构与组合数学曲婉玲北京大 学出版社 近世代数及其应用阮传概孙伟北京 邮电大学出版社
参考书 近世代数 吴品三 人民教育出版社 代数结构与组合数学 曲婉玲 北京大 学出版社 近世代数及其应用 阮传概 孙伟 北京 邮电大学出版社
、循环群 1.元素的阶 定义1410:设G为群,e是G的单位元,对 于a∈G,如果存在最小正整数r,使得a=e, 则称r为元素a的阶;也可称a是阶元。若 不存在这样的r,则称a为无限阶元或说a 的阶无猴
三、循环群 1.元素的阶 定义14.10:设G为群, e是G的单位元，对 于aG, 如果存在最小正整数r，使得a r=e， 则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限
元素a的阶有限的特征: 若元素a的阶有限,则存在ke∈Z(k≠D使 ak=al 如果a的任意两个幂都不相等,则元素a的 阶无限。 定理1412:G为群,a∈G,阶为n,则对 m∈Z,ame当且仅当nm 定理():若G是有限群,则G中的每个 元素的阶都是有限的
元素a的阶有限的特征： 若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使 a k=a l ， 如果a的任意两个幂都不相等, 则元素a的 阶无限。 定理14.12：G为群, aG, 阶为n, 则对 mZ, a m=e当且仅当n|m。 定理(一)：若G是有限群，则G中的每个 元素的阶都是有限的
例:在有限群G中,阶大于2的元素数目 必是偶数。 先证:G是群,对任意a∈G,当a的阶有 限时,a的阶与a1阶相同。 证明正整数p和q相等通常有两种方法 (1)p≤q,qsp,可推出p=q (2)若plq,qp,可推出p=q
例：在有限群G中，阶大于2的元素数目 必是偶数。 先证：G是群，对任意aG，当a的阶有 限时，a的阶与a -1阶相同。 证明正整数p和q相等,通常有两种方法: (1)pq, qp,可推出p=q (2)若p|q,q|p,可推出p=q
例:设群G的元素a的阶是n,则a的阶 是n/d。其中d=(r,n)为r和n的最大公因子 分析:要证a的阶是m/d,则要证: a n/d一 e
例：设群G的元素a的阶是n，则a r的阶 是n/d。其中d=(r,n)为r和n的最大公因子。 分析：要证a r的阶是n/d,则要证： (ar ) n/d =e