测验: 2设~是群G上的等价关系,并且对于G的任 意三个元素a,x,x,若ax~ax则必有x~x 证明:与G中单位元等价的元素全体构成G 的一个子群。 H={xK∈G并且x~e} 对任意的x∈H,x~e,xe~e=xx 对任意的x,y∈H,x~e,y~e,ey~e, x xyX X
测验： 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任 意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。 证明：与G中单位元等价的元素全体构成G 的一个子群。 H={x|xG,并且xe} 对任意的xH， xe, xee=xx-1 对任意的x,yH， xe, ye, eye, x -1xyx -1x
§4群的同态与同态基本定理 一、群同态 设有两个代数系统[S;与[;]如果存在 到上映射φ:S冮T使得对任意的ab∈S, 有:φ(ab)=p(a)p(b),称[S;与[T;]两 个系统同态。如果φ是双射,则[S;与 T;l构
§4 群的同态与同态基本定理 一、群同态 设有两个代数系统[S;*]与[T;•], 如果存在 到上映射:S→T,使得对任意的a,bS, 有:(a*b)=(a)•(b)，称[S;*]与[T;•]两 个系统同态。如果是双射,则[S;*]与 [T;•]同构
例1421( Cayley凯定理:任一有限群 必同构于一个同阶的置换群。 证明设G;为有限群 若[G;·是置换群,则[G;°]与自己当然同构 下面考虑[G;不是置换群,那么就应构造与 G;·]有一定联系的置换群使得它们同构 对任意g∈G定义映射G→>G使得对任意 g∈G有o)=gg。设2={oglg∈G 则由例1413知[;是置换群 下面证明G与[同构 构造G→Σ的同构映射:qg)=g
例14.21(Cayley(凯莱)定理)：任一有限群 必同构于一个同阶的置换群。 证明:设[G;•]为有限群. 若[G;•]是置换群, 则[G;•]与自己当然同构. 下面考虑[G;•]不是置换群,那么就应构造与 [G;•]有一定联系的置换群,使得它们同构. 对任意gG,定义映射g :G→G,使得对任意 g'G,有g (g') =g•g' 。设={g |gG} 则由例14.13知[;]是置换群。 下面证明G与[;]同构 构造G→的同构映射:(g)=g
二、群同态基本定理 1.同东核与同象 在群G中,a,b∈G,若ab=a,则b=e(单位元) ab=a=ae,由消去律可得b=e 引理:[G;*和【G;为群,q为G→)G的同态 映射(不一定满射),设e是[G;的单位元,则 q(e)一定是[G;的单位元 证明因为o(G)≠,设xep(G)G 存在a∈G使得x=q(a) 因为xop(e)=X=xee 利用群满足消去律即得q(e)=ec 该结论对不是群的代数系统不一定成立
二、群同态基本定理 1.同态核与同态象 在群G中，a,bG,若ab=a，则b=e(单位元) ab=a=ae，由消去律可得b=e。 引理：[G;*]和[G‘;•]为群, 为G→G’的同态 映射(不一定满射),设e是[G;*]的单位元,则 (e)一定是[G';•]的单位元. 证明:因为(G),设x(G)G' , 存在aG,使得x=(a) 因为x•(e)=x=x•eG' , 利用群满足消去律即得(e)=eG' . 该结论对不是群的代数系统不一定成立
定义1418:为群G→G的同态映射,e,e 分别为GG之单位元。集合K={x∈G q(x)=e"}称K为同态映射q的核又称同态 核记为Kerq,简记为K(qp)。 K≠,这是因为q(e)=e,即eeK. 例:[R{0}和[{1,1;为为群 1x>0 P(x) 0 Kerq={xx>0,x∈R} 故{1,}的单位元1源不止一个。Ke是所有 -1,1}的单位元的额全体所成的集合
定义14.18: 为群G→G'的同态映射,e,e' 分别为G,G'之单位元。集合K={xG| (x)=e'},称K为同态映射的核,又称同态 核, 记为Ker, 简记为K()。 K,这是因为(e)=e',即eK. 例:[R-{0};*]和[{-1,1};*]为群 − = 1 0 1 0 ( ) x x x Ker ={x | x 0, xR} { 1,1}的单位元的象源全体所成的集合 故 { 1,1}的单位元1的象源不止一个。Ker是所有 − −