第十七章格与布尔代数 81偏序与格
第十七章 格与布尔代数 §1 偏序与格
一、格的一般概念 偏序集(P;是由一个非空的集合P及在 P上定义的偏序关系≤构成 在偏序集(P;s)中,若对任意ab∈P有asb 或b≤a时称P为全序。 冷定义171:设(L;为偏序集,如果对任意 的a,b∈L有最小上界与最大下界时称L为 橙。以ab=ub(a,b)表示ab的最小上 界,aAb=gb(a,b)表示a,b的最大下界
❖ 一、格的一般概念 ❖ 偏序集(P;≤)是由一个非空的集合P 及在 P上定义的偏序关系≤构成 ❖ 在偏序集(P;≤)中，若对任意a,bP有a≤b 或b≤a 时称P为全序。 ❖ 定义17.1:设(L;≤)为偏序集, 如果对任意 的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为 格。以ab=lub(a,b)表示a,b的最小上 界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界
冷定义172:(L;)为格如果a≤ba≠b(记为 a<b),且不存在u∈L{a,b}使asu≤b,则称b 盖a c(=d.ab的如果的 当a<b时,如有c1,ck∈L(k≥1)使c覆 k-1),且有a=c<c2<.<ck= 则称c1 何两个元素a<b,总有连接它们的链,则称 L是离散的。有限的离散全序集的哈斯图 由一条链组成
❖ 定义17.2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为 a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b 覆盖a。 ❖ 当a<b时,如有c1 ,,ckL(k1),使ci+1覆 盖ci (i=1,2,,k-1),且有a=c1<c2<<ck=b, 则称c1 ,,ck为连接a,b的链。如果L的任 何两个元素a<b,总有连接它们的链, 则称 L是离散的。有限的离散全序集的哈斯图 由一条链组成
冷例:设G是一个群,L(G表示G的所有子群 构成的集合则L(G关于集合包含关系g 构成一个偏序集, 并且是格 称为G的子群格 冷例:设G是一个群,P(G表示G的所有正规 子群构成的集合,则P(G关于集合包含关 系c构成一个偏序集 并且是格 称为G的不变子群格
❖ 例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子群 构成的集合,则L(G)关于集合包含关系 构成一个偏序集, 并且是格. 称为G的子群格 ❖ 例:设G是一个群,P(G)表示G的所有正规 子群构成的集合,则P(G)关于集合包含关 系构成一个偏序集 并且是格. 称为G的不变子群格
冷例:设B={0,4},≤为定义在B上的关系,对 任(a12,a(b1,bn)∈B,(a1,an)≤ (b12…b)当且仅当a≤b(1sn),显然这是 个偏序关系。并且(B,≤)是格
❖ 例:设B={0,1},≤n为定义在Bn上的关系, 对 任(a1 ,,an ),(b1 ,,bn )Bn , (a1 ,,an )≤n (b1 ,,bn )当且仅当ai≤nbi (1in),显然这是 一个偏序关系。并且(Bn ,≤n )是格