§2代数元与根域 代数元与超越元 1.代数元与超越元 定义165:K为域F的扩域,∈K如果有 x)∈F[]使得/(x)=0,则称a为域F的代数 元否则就是F的超越元。 所谓代数元实际上就是域上某个多项式 的根 例:5,√3,17+3都是有理数域上的代
§2 代数元与根域 ▪ 一、代数元与超越元 ▪ 1.代数元与超越元 ▪ 定义16.5：K为域F的扩域,K,如果有 f(x)F[x]使得f()=0,则称为域F的代数 元,否则就是F的超越元。 ▪ 所谓代数元实际上就是域上某个多项式 的根 例:5, 3,i, 7 3都是有理数域上的代数元 . n +
例:√2+√5是否为有理数域上 的代数元? 例:cos-π是否为有理数域 的代数元?
的代数元? 例: 3 2 + 5是否为有理数域上 的代数元? 例: π 是否为有理数域上 5 2 cos
2极小多项式 定义166:是域F的一个代数元,p(x)∈ Fx],称它为在F上的极小多项式如果 p(x)之首项系数为1,且它是F[×中以a为 根的多项式中次数最低的。 定理166:0为F之代数元p(x)为其在F上 的极小多项式,则 (1)p(x)不可约。 (2)若fx)∈Fx],f(a)=0则p(x)f(x) (3)p(x)是唯一的
▪ 2.极小多项式 ▪ 定义16.6:是域F的一个代数元,p(x) F[x],称它为在F上的极小多项式,如果 p(x)之首项系数为1,且它是F[x]中以为 根的多项式中次数最低的。 ▪ 定理16.6:为F之代数元,p(x)为其在F上 的极小多项式, 则: ▪ (1)p(x)不可约。 ▪ (2)若f(x)F[x],f()=0则p(x)|f(x)。 ▪ (3)p(x)是唯一的
证明:(1)p(x)不可约设p(x)≠0,degp(x)≥1 若degp(x)=1p(x)当然不可约 对于degp(x)>1,若p(x)可约, 则存在g(x),q(x)∈F(x),使得p(x)=g(x)q(x) E1sdegg(x), dega(x<degp(x) 0=p(a)=g(o)q(a) F(a)是域无零因子, 因此或者ga)=0,或者q(a)=0 与p(x)为极小多项式矛盾
▪ 证明: (1)p(x)不可约.设p(x)0,degp(x)1. ▪ 若degp(x)=1,p(x)当然不可约. ▪ 对于degp(x)>1,若p(x)可约, ▪ 则存在g(x),q(x)F(x),使得p(x)=g(x)q(x) ▪ 且1≤degg(x),degq(x)<degp(x) ▪ 0=p()=g()q(). ▪ F()是域,无零因子, ▪ 因此或者g()=0,或者q()=0. ▪ 与p(x)为极小多项式矛盾
(2)若(x)∈Fx,f〔c)=0则p(x)f(x) 因为x)=p(x)q(x)+r(x) q(x),r(x)∈F(x),r(x)=0或者degr(x)degp(x) 由fa)=0,得r(a)=0 根据极小多项式定义,有r(x)=0,即p(x)f(x) (3)p(x)是唯一的 若存在a的另一极小多项式p1(x) 则p(x)p(x),P(x)p(x) 由定理1510知p(x)=ap1(x),a∈F, 极小多项式首项系数为1 因此a=1,即p(x)=p1(x)
▪ (2)若f(x)F[x],f()=0则p(x)|f(x)。 ▪ 因为f(x)=p(x)q(x)+r(x), ▪ q(x),r(x)F(x),r(x)=0或者degr(x)<degp(x) ▪ 由f()=0,得r()=0 ▪ 根据极小多项式定义,有r(x)=0,即p(x)|f(x) ▪ (3)p(x)是唯一的 ▪ 若存在的另一极小多项式p1 (x) ▪ 则p(x)|p1 (x), p1 (x)|p(x) ▪ 由定理15.10知p(x)=ap1 (x),aF* , ▪ 极小多项式 首项系数为1, ▪ 因此a=1,即p(x)=p1 (x)