例:f(x)是F上的二次多项式, f(x)=ax2+bx+c(0≠a∈F)2H1、2为fx)的二 个根 N=F(L1 f(x)在F上可约,N=F
例：f(x)是F上的二次多项式， f(x)=ax2+bx+c(0aF),1、2为f(x)的二 个根. N=F(1 ). f(x)在F上可约，N=F
引理161:设p(x)是域F上的不可约多项式, 则存在F的一个有限扩域Kp(x)在K中有根。 证明:设p(x)=a0+a1x+,+anxn 由定理162知:域F[x](p(x)是F的n次扩张 (p(x)+x是p(x)在K中的根 定理16.10:如果(x)是域F上的多项式,deg f(x)≥1,那么存在F的一个扩域K,在K中f(x)分 解成一些一次因式的乘积。 证明:采用归纳法 定理15.12
引理16.1：设p(x)是域F上的不可约多项式, 则存在F的一个有限扩域K,p(x)在K中有根。 证明:设p(x)=a0+a1x+…+ anx n 由定理16.2知:域F[x]/(p(x))是F的n次扩张. (p(x))+x是p(x)在K中的根 定理16.10：如果f(x)是域F上的多项式, deg f(x)1,那么存在F的一个扩域K,在K中f(x)分 解成一些一次因式的乘积。 证明:采用归纳法 定理15.12
推论164:F为域,对F[x]中的任一多项式 f(x)-定存在F上的根域。 例:由实数域R扩充建立复数域 RIx(x2+1=fa+bxa, bER) 令i=(x2+1)+0+1x =(x2+1)+(-1)为(x2+1)+1关于的逆元 简记为2=-1
推论16.4:F为域, 对F[x]中的任一多项式 f(x)一定存在F上的根域。 例：由实数域R扩充建立复数域 R[x]/(x 2+1)={a+bx|a,bR} 令i=(x 2+1)+0+1x i 2=(x 2+1)+(-1)为(x 2+1)+1关于的逆元。 简记为i 2=-1
§3有限域 伽罗瓦( Galois域 个域的元素有限就是有限域这种域又称为 伽罗亙 Galois)域。 定理16.12:F为有限域则存在素数p,自然数 m≥1,使FF=pm。 证明:1必存在素数p,使得 charF=p 利用定理165:F为域,则必包含一个素子域 △, charF=p时,Asz
§3 有限域 一、伽罗瓦(Galois)域 一个域的元素有限就是有限域,这种域又称为 伽罗瓦(Galois)域。 定理16.12:F为有限域,则存在素数p,自然数 m1,使|F|=pm 。 证明:1.必存在素数p,使得charF=p 利用定理16.5：F为域,则必包含一个素子域 , charF=p时, ≌Zp