S;“是一个代数系统,为定义在S上的二元 运算,若满足: (1)对任意的a,b,c∈S有a(bc)=(ab)c(结合 律) (2)存在e∈eS,使ae=ea=a(单位元) (3)对任意的a∈S,存在1∈S使得 a*a=aa-e 则称|S;为群
[S;*]是一个代数系统, *为定义在S上的二元 运算,若满足: (1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合 律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS,存在a -1S,使得 a*a -1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群
第十五章环 环的英文为Ring,用Ring的起始字 母R表示环即今后出现的R表示环, 除非特别说明,R不再表示实数集
第十五章 环 环的英文为Ring，用Ring的起始字 母R表示环,即今后出现的R表示环, 除非特别说明，R不再表示实数集
§1环的定义与性质 一、环的定义 代数系统[R;+,,其中+和*为定义在R上 的二元运算满足下述条件, (1)R;+为Abel群 (2)R;1为半群 (3)*满足分配律: a2(b+e=(a2b)+(a2C), (b+c)*a=(ba)+(C2a) 则称R;+,为环
❖一、环的定义 ❖ 代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上 的二元运算,满足下述条件, (1)[R;+]为Abel群 (2)[R;*]为半群 (3)*满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 则称[R;+,*]为环。 §1 环的定义与性质
(1)R;+中的运算+是一般的运算记号,而 不是普通的加法运算。 (2)R;+中的单位元通常用0表示,但这也 仅是记号,而不是实数0 (3)|R计+|中a逆元通常用-表示,同样也是 记号。 (4)0是+的单位元 (5)-是a关于+的逆元。 (6)a关于+运算n次a+a+,…+a通常记为na
(1)[R;+]中的运算+是一般的运算记号，而 不是普通的加法运算。 (2) [R;+]中的单位元通常用0表示，但这也 仅是记号，而不是实数0。 (3) [R;+]中a逆元通常用-a表示，同样也是 记号。 (4) 0是+的单位元 (5) -a是a关于+的逆元。 (6)a关于+运算n次a+a++a通常记为na
冷例:S≠,[P(S):F,∩] ⊕满足结合律 冷出的单位元是x, 冷对任意A∈S,关于⊕的逆元就是A. ⊕满足交换律 ∩满足结合律 ∩满足分配律 并且∩满足交换律 关于环的第二个运算满足交换律,称为交 英环
❖ 例：S,[P(S);,∩] ❖ 满足结合律 ❖ 的单位元是, ❖ 对任意AS, 关于的逆元就是A. ❖ 满足交换律 ❖ ∩满足结合律 ❖ ∩满足分配律 ❖ 并且∩满足交换律. ❖ 关于环的第二个运算满足交换律, 称为交 换环