下周起,代数结构与数理逻辑课程 上课教室改在2108教室
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二、环同态 定义15.9:对于环[R;+,*与环[R';+,*, 若存在映射φ:R-R,使得对任r1,r2∈R有: r,tr φ(r1*r2)=p(r+y*p(r2),则称q为R到R的 问迹射当q(R=R称两个环同态当φ 为一一对应时两个环构当R'R时称R 到R的同态为自同态同构为自同构
二、环同态 定义15.9：对于环[R;+,*]与环[R';+',*'], 若存在映射:R→R' ，使得对任r1,r2R有: (r1+r2)= (r1)+'(r2), (r1*r2)=(r1 )*'(r2 ), 则称为R到R'的 同态映射;当(R)=R'称两个环同态;当 为一一对应时两个环同构;当R'R时称R 到R'的同态为自同态,同构为自同构
■定理15.6:设环[R;+,*]与环[R;+,*]有同 态映射q,则: (1)(0)=0,0为R之加法单位元,0为R'之加 法单位元。 (2)如果R和R均为有单位元环,且e,e'分别为 其单位元,则当p是满同态,或者R无零因子 且q不是零同态,则φ(e)=e'。其中零同态是 指所有元素在q下的象都是0。 (3)q(R)cR必为R的子环。 请考虑(2)中若把一些条件去掉后结论不成 立的例子
定理15.6：设环[R;+,*]与环[R';+',*']有同 态映射, 则: (1)(0)=0',0为R之加法单位元, 0'为R'之加 法单位元。 (2)如果R和R'均为有单位元环, 且e,e'分别为 其单位元,则当是满同态,或者R'无零因子 且不是零同态,则(e)=e' 。其中零同态是 指所有元素在下的象都是0' 。 (3)(R)R'必为R'的子环。 请考虑(2)中若把一些条件去掉后,结论不成 立的例子
推论15.1:若两个环R与R同构RR,则R为 整环时,R'也为整环;R为除环时R也是除 环;R为域时R也为域 ■推论15.1的结论不能拓广到两个环同态的 情况。 例如对于整数环Z和同余类环Zm,可以构造 满同态映射φ,使得φ(x)=[x∈Zm。我们知 道,Z是整环但不是域,而当m是素数时, zm是域,当m不是素数时,乙m不是域,也 不是整环。即两个同态的环Z和乙n性质并不 相同
推论15.1:若两个环R与R'同构,R≌R',则R为 整环时, R'也为整环；R为除环时R’也是除 环；R为域时R'也为域。 推论15.1的结论不能拓广到两个环同态的 情况。 例如对于整数环Z和同余类环Zm，可以构造 满同态映射，使得(x)=[x]Zm。我们知 道，Z是整环但不是域，而当m是素数时， Zm是域，当m不是素数时，Zm不是域，也 不是整环。即两个同态的环Z和Zm性质并不 相同
定理157:设有整环R,char(R=p,作映射 φR-R,对任a∈R,φ(a)=a?是R的一个自同态映 射且a≠b时o(a)≠q(b) 证明:同态映射要求对任a,b∈R有:p(a+b)=p(a) φ(b),q(a*b)=o(a)*(b) φ(a*b)=(a米b)ap*bp=q(a)*p(b 因为在交换环中,二项式定理成立 因此在(a+b)展开式中,其系数为C(p,i), 故除C(p,0)=C(p,p)=1外,C(,i)含有因子p. 而对任意a∈R,有pa=0 因此p(ab)=(a+b)=ap+byq(a)(b)
定 理 1 5 . 7 ： 设 有 整 环 R,char(R)=p, 作映射 :R→R,对任aR,(a)=ap是R的一个自同态映 射且ab 时(a)(b)。 证明:同态映射要求对任a,bR有:(a+b)=(a) +(b),(a*b)=(a)*(b). (a*b)=(a*b)p=ap*bp=(a)*(b). 因为在交换环中,二项式定理成立. 因此在(a+b)p的展开式中,其系数为C(p,i), 故除C(p,0)=C(p,p)=1外,C(p,i)含有因子p. 而对任意aR,有pa=0 因此(a+b)=(a+b)p=ap+bp=(a)+(b)