第六章共形映射?140.$6.2.1解析函数的保域性与边界对应原理对于问题一，有下面两个定理，定理6.2（保域性定理）设函数f（）在区域D内解析，且不恒为常数，则像集合G=L))是区域。定理6.3（边界对应原理）设区域D的边界为简单闭曲线C，函数w=f(z）在D=DUC上解析，且将C双方单值地映射成简单闭曲线F.当沿C的正向绕行时，相应的孔的绕行方向定为F的正向，并令G是以T为边界的区域，则=f(）将D共形映射成G.在这两个定理中，定理6.2说明了解析函数把区域变为区域，而定理6.3则为像区或的确定给出了一个一般性的方法.即并不需要对整个区域D进行考虑，而是只需求出D的边界C所对应的曲线及其方向，则以有向曲线F为边界的区域就是像区域.这一方法对于问题二的求解也是有用的这里应特别注意的是r的方向.如图6.5，区域D在曲线C的内部，在C上沿逆时针方向取三点2数一f（）将C与，2分别映射为F和+若，也按逆时针方向排列，则像区域G在F的内部，否则G在『的外部图6.5A例6.4设区域D-（2：0<argz<，0<<1，求区域D在映射双=下的像区域G
第六章共形映射142*据刘维尔定理（见83.4）f（z）必恒为常数，这显然不是我们所要求的映射,（2）关于惟一性一般说来是不惟-的，例如对任意给定的常数，映射孔一2e%均把单位圆内部映射为单位圆内部那么，到底在什么情况下，共形映射函数存在且惟一一呢？黎曼（Riemann）在1851年给出了下面的定理，它是共形映射的基本定理，定理6.4（黎曼存在惟一性定理）设D与G是任意给定的两个单连域·它们的边界至少包含两点，则一定存在解析函数一f（）把D保形地映射为G.如果在D和G内再分别任意指定一点z。和Wo，并任给实数。（一元<≤元）要求函数=f（）满足f（）=且arg（zo）=，则映射w=f（z）是惟一的.黎曼存在惟一性定理肯定了满足给定条件的函数的存在惟一性，但没有给出具体的求解方法，事实上，对一般情况而言，具体求解是比较困难的.因此，下面我们只是针对某些初等函数特别是分式线性函数所构成的映射进行讨论86.3分式线性映射由分式线性函数az+6w=(a.b，c，d为复数且ad一bc子0)(6.4)cz+d构成的映射，称为分式线性映射.其逆映射也为分式线性映射，特别地，当=0时，则称为（整式）线性映射.分式线性映射在理论和实际应用中都是非常重要的一类映射86.3.1分式线性函数的分解要弄清分式线性函数的映射特征，我们只需对下面四种简单函数进行讨论(1）w=2+b（b为复数）
第六章共形映射:144-图 6.7图6.8（2）旋转映射：W20%令z一re则有一reo-，如图6.8，它将曲线C绕原点旋转到曲线F当>0时，逆时针旋转；当9<0时，顺时针旋转（3）相似映射：=rz令2一pee，则有w一rpe?如图6.9，它将曲线C放大（或缩小）到曲线F.相似映射的特点是对复平面上任意一点名，保持辐角不变，而将模放大（>1）或者缩小(r<1).图6.92.反演映射一称为反演映射,令z=re",则 w映射",即2rargw=—arg 2,由 w|=可知,当|「<时，>当|[>!11时，w<1.因此反演映射=一的特点是将单位圆内部（或外部)的任一点映射到单位圆外部（或内部），且辐角反号从图6.10中即可以1实际上可以分两步进行.先将≥映射为w，满清楚地看出，映射双一1足/w[-且argwagz;再将w映射为w，满足|w|w,|且argw=一argwi.从几何角度看，w与wi是关于实轴对称的，那么与
86.3分式线性映射:145 -的儿何关系是什么呢？图6.10图6.11定义6.3设某圆的半径为R，A、B两点在从圆心出发的射线上，月OA·0B=R则称A和B是关于圆周对称的（图6.11)根据这一定义可知，与是关于单位圆对称的.因此，映射w一可由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成事实上，如果我们将写成=与的复合，则前者正好是单位圆对称映射，而U=后者正好是实轴对称映射，为了方便地进行后面一些问题的讨论，我们对反演映射作如下的规定和说明(1）规定反演映射将=0映射成=α,将=α映射成w=0.（2）规定函数f（）在一0点及其邻域的性态可由函数P（）在=0点及其邻城的性态确定，其中=，)=一f（）.按照此规定，当我们讨论函数f(2)在一点附近的性态时，可以先通过反演映射将f（z）化为（），再讨论)在原点附近的性态.例如，若）在一0处解析，且limp(）=p(0）=A.则可以认为f(）在x点解析,且limf(z)=f(o)一A