秦勒公式公式f"(xo)(x-xo)2 +f(x) = f(xo)+ f(xo)(x -xo)+-2.1n)(x)(x - xo)" + R,(x- xo)n/= P,(x)+ R,(x- xo)n阶泰勒公式称为 f(x)在x.处的R,(x-xo)称为n阶余项p(k) (x)= f(k)(x注意：
11 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! 1 ( )( ) ( ) ! ( ) ( ) n n n n n f x f x f x x x f x x x f x x x R x x n P x R x x 公式 称为 0 f (x)在x 处的 n阶泰勒公式. 0 ( ) Rn x x 称为n阶余项. 注意: ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) P x f x k k n 泰勒公式
泰勒谷式下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式设定理1(带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式)(1)函数f(x)在x点的某个邻域0(x)内有定义;(2)在此邻域内f(x)有直到(n-1)阶导数;称为f(x)按(x-x,)的幂展开的(3) f(m)(x)存在带有皮亚诺型余项n阶泰勒公式则1"(xo)(x - x)? +f(x) = f(x)+ f'(xo)(x-xo)+-2!(xo)(x - xo)" +o((x - xo)n12
12 下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式. 定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式) 设 1函数f (x)在x0点的某个邻域O x0 内有定义; 2 在此邻域内f (x)有直到n 1阶导数; 0 3 ( ) . n f x 存在 则 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! 1 ( )( ) ( ) . ! n n n f x f x f x x x f x x x f x x x o x x n 称为f (x)按(x x0 )的幂展开的 带有皮亚诺型余项n阶泰勒公式 泰勒公式
泰勤谷武证明：对于f(x)- P,(x)lim(x-xo)nx-→Xo连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定义即可证明，13A7
13 0 0 ( ) ( ) lim ( ) n n x x f x P x x x 证明: 对于 连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定 义即可证明. 泰勒公式
泰勒公式下面的定理将指明：当f(x)在x的某邻域内有(n+1)阶导数时可以用它的泰勒多项式逼近 函数 f(x),并估计它的误差P(x) ~ f(x), R,(x-x)= f(x)-P,(x)14
14 下面的定理将指明: 可以用它的泰勒多项式逼近 当 f (x)在x0的某邻域内有n 1阶导数时, 函数 f (x), 并估计它的误差. P (x) f (x), n 0 ( ) ( ) ( ). Rn n x x f x P x 泰勒公式
秦勒公式泰勒（Taylor)中值定理定理2(带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式）设(1)函数f(x)在[a,bl上有定义;(2)在[a,b]上f(x)有直到n阶的连续导数;(3)在(a,b)内f(x)有直到(n+1)阶导数则 Vx,x =[a,b],有f"(x)(x - x)? +f(x) = f(xo)+ f'(xo)(x- xo)+一2!()nt(xo)(x-x)" +(n + 1)!n!其中,介于x与x之间15
15 定理2 (带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式) 设 1函数f (x)在a,b上有定义; 2 在a,b上f (x)有直到n阶的连续导数; 3 在a,b内f (x)有直到n 1阶导数. 则 2 0 0 0 0 0 ( 1) ( ) 1 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! 1 ( ) ( )( ) ( ) , ! ( 1)! , n n n n f x f x f x x x f x x x f f x x x x x n n x x 其中 介于 与 之间. x, x0 a,b,有 泰勒公式 泰勒(Taylor)中值定理