沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.6 泰勒（Taylor）公式

李勃公式1.n次多项式系数的确定猜想1.若在x点相交y好近似程度越来越P,(x) = f(x)y= f(x)2.若有相同的切线P'(x) = f'(xo)3.若弯曲方向相同*x0XoP"(x) = f"(x)6

6 0 x y  f (x) o x y 猜想 ( ) ( ) 0 x0 P x f n  ( ) ( ) 0 x0 P x f n    ( ) ( ) 0 0 P x f x n      2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在x0 点相交 1.n次多项式系数的确定 泰勒公式

泰勒公式假设P(k)(xo)= f(k)(xo) k = 0,1,2,..°,nP(x) = ao +a,(x - xo)+a2(x- xo)2 +... +an(x-x)(1)由P(x)=αo’及P,(x)= f(x)得到a=f(x)(2)由P(x)=αj,及P(x) = f'(x)得到a =f(x)

7 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) P x f x k k 假设 n  k  0,1,2,  ,n 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n P x a a x x a x x a x x         0 0 ( ) , Pn (1)由 x  a 0 0 ( ) ( ) Pn 及 x  f x 0 0 得到a  f (x ) 0 1 ( ) , Pn (2)由  x  a 0 0 ( ) ( ) Pn 及  x  f  x 1 0 得到a  f (x ) 泰勒公式

泰勒公式(3) 由P"(xo)= 2!a2, 及P"(x)= f"(xo)得到α=f"(xo)-同理可得DXo),..,ana3!n!即(k)(x), k = 0,1,2,::,nak!8

8 0 2 ( ) 2! , Pn (3)由  x  a 0 0 ( ) ( ) Pn 及  x  f  x 2 0 1 ( ) 2! 得到a  f  x 同理可得 (3) ( ) 3 0 0 1 1 ( ), , ( ) 3! ! n n a f x a f x n    ( ) 0 1 ( ), 0,1,2, , ! k k a f x k n k 即    泰勒公式

泰勒公式从而f"(xo)(x - xo)2 +P(x) = f(xo)+ f'(x)(x - xo)+2!f(m)(x)(x - xo)"nK(xo)(x - xo)二k=0

9 从而 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! 1 ( )( ) ! n n n P x f x f x x x f x x x f x x x n           ( ) 0 0 0 1 ( )( ) ! n k k k f x x x  k    泰勒公式

泰勒公式说明：当f(x)在x处有直到n阶导数时，多项式ZP,(x)=)(x -x)Xk在x处与f(x）有相同的函数值及直到n阶导数值.从而ZP,(x)=k)(xo)(x - xo)k!k=0n阶泰勒多项式称为 f(x)在x.处的称为泰勒系数K(x), k = 0,1,2,.,nRk!10

10 说明: 0 当f (x)在x 处 有直到n阶导数时, 多项式 泰勒公式 ( ) 0 0 0 1 ( ) ( )( ) ! n k k n k P x f x x x  k    0 在x 处与f (x) 有相同的函数值及 直到n阶导数值. 从而 ( ) 0 0 0 1 ( ) ( )( ) ! n k k n k P x f x x x  k    称为 0 f (x)在x 处的 n阶泰勒多项式. ( ) 0 1 ( ), 0,1, 2, , ! k k a f x k n k    称为 泰勒系数