在点(0,0)处的两个二阶混合偏导数。 7、设空间曲线的参数方程为x=x),y=y(),:=),则在点(x,o,o)处的切线方 动洽斋需对 8、已知曲面方程为：=f(x,),在曲面上点(x0,0,二01=16)处的切平面方程和法线方 程分别为2-三0=f(x,x-xo)+f(x0y-)及 x-x。 y-0==0,对吗？ 9、若：=fx,)在点(x06)处满足f(06)=f(xo,%)=0,则点(x,6)为 :=fx,y)的极值点对吗？反之，若P(xo,%)为：-fx,y)的极值点，则必有 f(xo%)=f(x%)=0,对吗 10、设有函数f(xy,),求满足条件g(x,少，)=0及x,八，)=0的条件极值的主要 步骤是怎样的？ 五、典型例题分析 （x2y 例1已知fx,)=x+少2 x+y2≠0 (1)讨论函数的连续性： 0, x+y2=0 (2)求一阶偏导数：(3)求全微分。 分析这是多元分段函数。①当产+少≠0时，心区川)为初等函数，在其定 义域内点各点均连续，且应按求偏导数和全微分的法则求其偏导数和全微分。②当 x·+y2=0(在点(0,0)处)时，应按多元函数在一点连续、可导、可微的定义来进 行讨论。 解(1)当x+y2≠0时，f(x,y)处处连续，当x+y2=0时，若动点沿直线y=x趋 向于(0,0)(k为任意常数)，有m x'y kx 十户岛中子=0：若动点沿曲线 6
6 在点（0，0）处的两个二阶混合偏导数。 ７、设空间曲线的参数方程为 x = x(t), y = y(t),z = z(t) ，则在点 ( , , ) 0 0 0 x y z 处的切线方 程为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x − = − = − ，对吗？ ８、已知曲面方程为 z = f (x, y) ，在曲面上点 ( , , )( ) 0 0 0 0 x y z t = t 处的切平面方程和法线方 程分别为 ( , )( ) ( , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 z z f x y x x f x y y y − = x − + y − 及 ( , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 z z f x y y y f x y x x x y − = − = − ，对吗？ ９、若 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处满足 f x (x0 , y0 ) = f y (x0 , y0 ) = 0 ，则点 ( , ) 0 0 0 P x y 为 z = f (x, y) 的极值点对吗？反之，若 ( , ) 0 0 0 P x y 为 z = f (x, y) 的极值点，则必有 f x (x0 , y0 ) = f y (x0 , y0 ) = 0 ，对吗？ １０、设有函数 f (x, y,z) ，求满足条件 g(x, y,z) = 0 及 h(x, y,z) = 0 的条件极值的主要 步骤是怎样的？ 五、典型例题分析 例 1 已知 + = + = + 0 , 0 , 0 ( , ) 4 2 4 2 4 2 2 x y x y x y x y f x y （１）讨论函数的连续性； （２） 求一阶偏导数；（３）求全微分。 分析 这是多元分段函数．①当 0 4 2 x + y 时， 4 2 2 ( , ) x y x y f x y + = 为初等函数，在其定 义域内点各点均连续,且应按求偏导数和全微分的法则求其偏导数和全微分。②当 0 4 2 x + y = （在点 (0,0) 处）时，应按多元函数在一点连续、可导、可微的定义来 进 行讨论。 解 （1）当 0 4 2 x + y 时， f (x, y) 处处连续.当 0 4 2 x + y = 时，若动点沿直线 y = kx 趋 向于 (0,0) （ k 为任意常数），有 lim lim 0 4 2 2 3 0 4 2 2 0 0 = + = + → = → → x k x k x x y x y x y kx x ；若动点沿曲线
x-V xv 存在，从而f(x,y)在点(0,0)不连续。 （2)当+少2*0时/k=2+y)-4.202-x (x+y2)2 (x4+y2)2 ,k0=+)-2xy2.- (x4+y2)2 (x4+y2)2 当+y-0时00=000-g-0: x-0 500=g000=g}=0 1y-0 2x(1v2-x4) x4+y2≠0 故得两个一阶偏导数(x,y)={(x+y)2 x4+y2=0 x2(x4-y2) L(x.y)=(x'+y) x+y2≠0 10 x4+y2-0 (3)当x4+y2≠0时， 女+界 (x4+y2)2 当x+y2=0时，取动点沿y=x路线趋向于(0.0) C-G00ar+f04y (Ax)2△y △)+(y ( a+A是a)+(a万2A网 万≠0.所以函数在点(0,0)的全微分不存在。 小结(1)函数在一点偏导数存在，但在该点不连续，说明二元函数偏导数存在不是连续的
7 2 y = x 趋向于点 (0,0) ，有 2 1 lim lim 4 4 4 0 4 2 2 0 0 2 = + = + → = → → x x x x y x y x y x x 。所以 4 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 不 存在，从而 f (x, y) 在点 (0,0) 不连续。 （2）当 0 4 2 x + y 时 4 2 2 2 4 4 2 2 4 2 5 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( , ) x y x y y x x y x y x y x y f x y x + − = + + − = ； 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( , ) x y x x y x y x x y x y f x y y + − = + + − = 。 当 0 4 2 x + y = 时 0 0 lim 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim 0 0 = = − − = → x → x f x f f x x x ； 0 0 lim 0 (0, ) (0,0) (0,0) lim 0 0 = = − − = → y → y f y f f y x y 。 故得两个一阶偏导数 + = + + − = 0 , 0 , 0 ( ) 2 ( ) ( , ) 4 2 4 2 4 2 2 2 4 x y x y x y x y y x f x y x ; + = + + − = 0 , 0 , 0 ( ) ( ) ( , ) 4 2 4 2 4 2 2 2 4 2 x y x y x y x x y f x y y (3) 当 0 4 2 x + y 时， dy x y x x y dx x y x y y x dz 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) + − + + − = ; 当 0 4 2 x + y = 时，取动点沿 y = x 路线趋向于 (0,0) ， [ (0,0) (0,0) ] lim 0 z f x f y − x + y → = x x x x x y x y x y y x x y x + = + + = → → → 2 1 [( ) ( ) ] ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 4 2 3 2 2 0 4 2 2 0 0 0 2 1 = .所以函数在点 (0,0) 的全微分不存在。 小结 （1）函数在一点偏导数存在，但在该点不连续，说明二元函数偏导数存在不是连续的