解:将②代入①得到z2-4x+12=0,是一条抛物线 x2+4y2+9z2=36 (3)(y=1 解:将②代入①得到x2+92-32=0,为一椭圆 27.求直线y=2x+1向上平移1个单位,又向左平移2个单位,最后按逆时针旋转30 所得的直线方程,并画出变换后的图形,给出所用的变换表达式 解:变换表达式①为:y=y-1,代入直线方程得:y=2x+2 变换表达式②为:x=x+2,代入直线方程得:y=2x+6 x'=xcos I+y sin t 变换表达式③为:(y=-Xsin2+Feas2 6,代入方程为 (2√3+1)X+(2-√3)+12=0 28.在单位圆周上均匀撒布360个点,将仿射变换作用其上后,试研究有无不变的向 量或变到相反方向的向量 需编程解决.解略. 29.在单位圆周上随机撒布一批点,经过多次仿射变换后,试研究有无不变的向量或变 到相反方向的向量 需编程解决.解略. 30.当一架超音速飞机在高空中飞行时,由于飞机的速度比声速快,所以人们常常先看 到飞机在天空中掠过,片刻之后才能听到震耳的隆隆声.问题是,在同一时刻,天空中的什 么区域内可以听到飞机的声音 (1)设空间有一点声源,它在t=0时发出的声波以音速V向四面八方传传播,经过 时间s之后所能达到的最大传播范围是一个以声源为心的球面,球面半径恰好是声波在s时 间内所传播的距离0,因此,人们常把声波称为球面波,以05为半径的球面称为s时的 波前.想像能听到飞机声音的区域是什么形状的 (2)以t=0时飞机的位置为坐标原点,以飞机前进的方向作为x轴,建立三维直角 坐标系.当=a时,飞机处在(a00点,试给出[0,可时间段内任一时刻s,飞机所发 出的球面波的波前的方程 3)试消去s,求包围能听到飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程. 解:(1)应为锥形区域 (2)容易得到,S∈al时,飞机处于(vs:00).由于波前为一球面,且其半径 为"o(a-),因此,此时刻的波前方程为 (3)由于任一时刻的波前球面与所述锥形区域相切,从而可知锥顶角的一半 a=arcsin =0 :从而锥面的方程为y+2=t如n2a(x-N0),= arcsin " o V代入方程 即得:飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程为: x-va)
解：将②代入①得到 2 z x − + = 4 12 0 ，是一条抛物线． （3） 2 2 2 4 9 36 1 x y z y + + = = ； 解：将②代入①得到 2 2 x z + − = 9 32 0 ，为一椭圆． 27．求直线 y x = + 2 1 向上平移 1 个单位，又向左平移 2 个单位，最后按逆时针旋转 30 所得的直线方程，并画出变换后的图形，给出所用的变换表达式． 解：变换表达式①为： y y = − 1 ，代入直线方程得： y x = + 2 2 ； 变换表达式②为： x x = + 2 ，代入直线方程得： y x = + 2 6 ； 变换表达式③为： π π cos sin 6 6 π π sin cos 6 6 x X Y y X Y = + = − + ，代入方程为： (2 3 1) (2 3) 12 0 + + − + = X Y 28. 在单位圆周上均匀撒布 360 个点，将仿射变换作用其上后，试研究有无不变的向 量或变到相反方向的向量． 需编程解决．解略． 29. 在单位圆周上随机撒布一批点，经过多次仿射变换后，试研究有无不变的向量或变 到相反方向的向量． 需编程解决．解略． 30. 当一架超音速飞机在高空中飞行时，由于飞机的速度比声速快，所以人们常常先看 到飞机在天空中掠过，片刻之后才能听到震耳的隆隆声．问题是，在同一时刻，天空中的什 么区域内可以听到飞机的声音． (1) 设空间有一点声源，它在 t = 0 时发出的声波以音速 0 v 向四面八方传传播，经过 时间s之后所能达到的最大传播范围是一个以声源为心的球面，球面半径恰好是声波在 s 时 间内所传播的距离 v s0 ，因此，人们常把声波称为球面波，以 v s0 为半径的球面称为 s 时的 波前．想像能听到飞机声音的区域是什么形状的． (2) 以 t = 0 时飞机的位置为坐标原点，以飞机前进的方向作为 x 轴，建立三维直角 坐标系．当 t a = 时，飞机处在 (va,0,0) 点，试给出 [0，a] 时间段内任一时刻 s，飞机所发 出的球面波的波前的方程． (3) 试消去 s，求包围能听到飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程． 解：（1）应为锥形区域。 （2）容易得到， s [0, a] 时，飞机处于 (vs,0,0) ．由于波前为一球面，且其半径 为 ( ) 0 v a − s ，因此，此时刻的波前方程为： 2 2 0 2 2 2 (x − vs) + y + z = v (a − s) （3）由于任一时刻的波前球面与所述锥形区域相切，从而可知锥顶角的一半 v v0 = arcsin ．从而锥面的方程为 2 2 2 2 y + z = tan (x − va) ．将 v v0 = arcsin 代入方程 即得：飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程为： 2 2 0 2 2 2 2 0 (x va) v v v y z − − + =
习题3 (1+-) 1.试按n的几种不同取法,求数列n与数列的极限近似值,观察所得 计算结果,以检验两个公式的正确性 解:取n=3,(=1,2,3 )时,计算得 6 (1+)2.370372.581126959201692.71271|2.716422717621807 nSm-0.9815840.9979440.9997710.99990.99999 取n=5,(=1,2,3,……)时,计算得 4 2.488 2665842.707492.716 2.717852.718192.71826 n sin 0.9933470.9997330.999989 取n=10y,(=1,2,3,……)时,计算得 4 (1+-)"2.593742.704812.716922.718152.71827 n sin 0.9983340.999983 1. im(1+-=e, lim nsin -=1 可以看出,公式:n n成立 2.设数列x满足xmH=√2+x及和=1,写出这一数列的前10项,考察所给数列的 变化趋势,进而猜测这一数列的极限值 1.73 1.982 1.995 1.9981.999 1.9991.9992. limx =2 从表中可以看出:n limx = a 事实上,当判定数列n确实存在后,设n→ 两边取 的极限可得: 应+a 两边平方,整理后得到方程:a2-a-2=0.解得:a=2(-1是这个无理方程的增根,舍去), 与刚才的结果相同 3.复利,即利滚利,不仅是一个经济问题,而且是一个古老又现代的经济社会问题.随
习 题 3 1. 试按 n 的几种不同取法，求数列 n n ) 1 (1+ 与数列 n n 1 sin 的极限近似值，观察所得 计算结果，以检验两个公式的正确性. 解：取 n=3i，（i=1，2，3，……）时，计算得 i 1 2 3 4 5 6 7 8 n n ) 1 (1+ 2.370 37 2.581 17 2.669 59 2.701 69 2.712 71 2.716 42 2.717 66 2.718 07 n n 1 sin 0.981 584 0.997 944 0.999 771 0.999 975 0.999 997 1. 1. 1. 取 n=5i，（i=1，2，3，……）时，计算得 i 1 2 3 4 5 6 7 n n ) 1 (1+ 2.488 32 2.665 84 2.707 49 2.716 11 2.717 85 2.718 19 2.718 26 n n 1 sin 0.993 347 0.999 733 0.999 989 1. 1. 1. 1. 取 n=10i，（i=1，2，3，……）时，计算得 i 1 2 3 4 5 n n ) 1 (1+ 2.593 74 2.704 81 2.716 92 2.718 15 2.718 27 n n 1 sin 0.998 334 0.999 983 1. 1. 1. 可以看出，公式： 1 1 lim(1 ) e, lim sin 1 n n n n → → n n + = = 成立. 2. 设数列 n x 满足 n n x = + x +1 2 及 x0 =1 ，写出这一数列的前 10 项，考察所给数列的 变化趋势，进而猜测这一数列的极限值. 解： n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xn 1. 1.732 05 1.931 85 1.982 89 1.995 72 1.998 93 1.999 73 1.999 93 1.999 98 2. 从表中可以看出： lim 2 n n x → = . 事实上，当判定数列 n x 确实存在后，设 lim n n x a → = . 对 n n x = + x +1 2 两边取 n→∞时 的极限可得： a a = +2 两边平方，整理后得到方程：a 2–a–2=0. 解得：a=2（–1 是这个无理方程的增根，舍去）， 与刚才的结果相同. 3. 复利，即利滚利，不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题. 随
着商品经济的发展,复利计息将日益普遍,同时,复利的期限将日益变短,即不仅用年息、 月息,而且用旬息、日息、半日息表示利息率 (1)设本金为p,年利率为r,若一年分为n期,每期利率为m,存期为t年,则 本利和为多少? (2)现某同学有P=1000元,年利率r=006,存期t=2年,请按(i)季度:(ⅱ) 月;(ⅲi)日:(ⅳv)小时.计算本利和; (3)猜测以连续复利(即随时计算利息并加入本金)的方式计算时,本利和为多少? 解 (1)设本金为p,年利率为r,若一年分为n期,每期利率为mm,则本利和为 第1期后=P+p 第2期后P2=P(1+y=m1+ 第n期,即一年后P2=P(1+y p(1+-)m 这样,t年后,本利和为 (2)某同学有p=1000元,年利率r=006,存期t=2,那么 (i)按季度计息,即n=4,代入(1)式,计算本利和约为1126.49元: (i)按月计息,即m=12,代入(1)式,计算本利和约为1127.16元: (ⅲ)按日计息,即n=365,代入(1)式,计算本利和约为1127.49元 (iv)按小时计息,即n=365×24,代入(1)式,计算本利和约为1127.5元 (3)以连续复利计息,即随时计算利息并加入本金的方式计算,此时即求n→∞时 limp(l+)"=lim pl(1 (1)的极限, 从而本利和为pe" 4.在求极限时,若相邻两次的计算结果(在符合精度要求的条件下)相同时,则认为 计算结果已达到精度要求,计算停止,并取计算结果为极限的近似值.请用这一方法研究极 lm(1+ 解:计算结果列表如下: 1999 2000 2997 表达式 25752.5752.5752.575 的值 2.567642.567652.56766 5.根据给定函数的图形,求解以下极限问题
着商品经济的发展，复利计息将日益普遍，同时，复利的期限将日益变短，即不仅用年息、 月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率. （1）设本金为 p，年利率为 r，若一年分为 n 期，每期利率为 r/n，存期为 t 年，则 本利和为多少? （2）现某同学有 p =1 000 元，年利率 r = 0.06 ，存期 t = 2 年，请按（ⅰ）季度；（ⅱ） 月；（ⅲ）日；（ⅳ）小时. 计算本利和； （3）猜测以连续复利（即随时计算利息并加入本金）的方式计算时，本利和为多少？ 解： （1）设本金为 p，年利率为 r，若一年分为 n 期，每期利率为 r/n，则本利和为： 第 1 期后 1 (1 ) r r p p p p n n = + = + 第 2 期后 2 2 1(1 ) (1 ) r r p p p n n = + = + 第 n 期，即一年后 (1 )n n r p p n = + 这样，t 年后，本利和为 (1 ) r nt p n + （1） （2）某同学有 p=1 000 元，年利率 r = 0.06 ，存期 t = 2 ，那么 （ⅰ）按季度计息，即 n=4，代入（1）式，计算本利和约为 1 126.49 元； （ⅱ）按月计息，即 n=12，代入（1）式，计算本利和约为 1 127.16 元； （ⅲ）按日计息，即 n=365，代入（1）式，计算本利和约为 1 127.49 元； （ⅳ）按小时计息，即 n=365×24，代入（1）式，计算本利和约为 1 127.5 元. （3） 以连续复利计息，即随时计算利息并加入本金的方式计算，此时即求 n→∞ 时 （1）的极限， lim (1 ) lim (1 ) e rt n nt rt r n n r r p p p → → n n + = + = ，从而本利和为 pe rt . 4. 在求极限时，若相邻两次的计算结果（在符合精度要求的条件下）相同时，则认为 计算结果已达到精度要求，计算停止，并取计算结果为极限的近似值. 请用这一方法研究极 限： ) 1 3 1 2 1 lim (1 3 3 3 n n + + + + → 解：计算结果列表如下： n … 1998 1999 2000 … 2997 2998 2999 3000 … 表达式 的值 … 2.567 64 2.567 65 2.567 66 … 2.575 85 2.575 85 2.575 86 2.575 86 … 5. 根据给定函数的图形，求解以下极限问题：
lim f(x) lim f(x) f(x) lim f(x) (1)(i)x→2 ()f(2);(y)x lim f(x) lim f(x) 题图见教材。 解:如图可得: lim f(x) (ii) lim f(x) (ⅲi)由于x→ imf(x)1m.f(x)mf(x)不存在 (ⅳv)f(2)= lim f(x) lim f(x) lim f(x)., lim f(x) 不存在 lim F(x) lim F(x) lim F(x) lim F(x) (2)(i)x+-2- (i)x+-2+;(i)x→-2 lim F(x) 解:如图可得: (i)x2"(x) lim F(x) lim F(x) lim F(x) lim F(x) (i)由于x2 (ⅳv)F(-2)没定义 lim F(x) lim F(x lim f(x) (3)(i)x→3 lim f(x) lim f(x) lim f(x) ;(ii)x+3 (ⅳv)f(3);(y)x 题图见教材。 解:如图可得:
（1） （i） lim ( ) 2 f x x→ − ；（ii） lim ( ) 2 f x x→ + ；（iii） lim ( ) 2 f x x→ ；（iv） f (2) ；（v） lim f (x) x→+ ； （vi） lim f (x) x→− ；（vii） lim f (x) x→ . 题图见教材。 解：如图可得： （i） lim ( ) 2 f x x→ − =2 （ii） lim ( ) 2 f x x→ + =0 （iii）由于 lim ( ) 2 f x x→ − ≠ lim ( ) 2 f x x→ + ，故 lim ( ) 2 f x x→ 不存在. （iv） f (2) =2 （v） lim f (x) x→+ =2 （vi） lim f (x) x→− =0 （vii） lim f (x) x→− ≠ lim f (x) x→+ ，故 lim f (x) x→ 不存在. （2）（i） lim ( ) 2 F x x − →− ；（ii） lim ( ) 2 F x x + →− ；（iii） lim ( ) 2 F x x→− ；（iv） F(−2) ；（v） lim F(x) x→+ ； （vi） lim F(x) x→− . 解：如图可得： （i） lim ( ) 2 F x x − →− =0 （ii） lim ( ) 2 F x x + →− =0 （iii）由于 lim ( ) 2 F x x − →− = lim ( ) 2 F x x + →− ，故 lim ( ) 2 F x x→− =0. （iv） F(−2) 没定义 （v） lim F(x) x→+ =+∞ （vi） lim F(x) x→− =+∞ （3）（i） lim ( ) 3 f x x→ − ；（ii） lim ( ) 3 f x x→ + ；（iii） lim ( ) 3 f x x→ ；（iv） f (3) ；（v） lim f (x) x→+ ；（vi） lim f (x) x→− . 题图见教材。 解：如图可得：
lim f(x) lim f(x) (i)x→3 lim f(x) lim f(x) lim f(x) (i)因为x→3 故 (ⅳv)f(3)=1 (v) lim f(x) lim f(x) (vi1)x-=2 lim G(x) lim G(x) (4)(i)x→+0- (i1)x->0 ;(ii)x→0 (ⅳv)G(O);(v)x→+x lim G(x) (Ⅴ)x→-∞ 解:如图可得: G(x) G(x) lim G(x) lm G(x) lim G(x) (i)由于x0 (ⅳv)G()=3 lim G(x) 不存在 lim f(x) lim f(x) lim f(x) (5)(i)x-+-2-;(i)x→-2+;(i1)x-2 lim f(x) (vi1)x→-∞ 题图见教材。 解:如图可得: lim f(x) lim f(x) (i)x>-2+ lim f() lim f(x) lim f(x) (i)由于x→-2 则 不存在 (ⅳv)f(2)没定义
（i） lim ( ) 3 f x x→ − =–∞ （ii） lim ( ) 3 f x x→ + =–∞ （iii）因为 lim ( ) 3 f x x→ − = lim ( ) 3 f x x→ + =–∞，故 lim ( ) 3 f x x→ =–∞ （iv） f (3) =1 （v） lim f (x) x→+ =2 （vi） lim f (x) x→− =2 （4）（i） lim ( ) 0 G x x→ − ；（ii） lim ( ) 0 G x x→ + ；（iii） lim ( ) 0 G x x→ ；（iv） G(0) ；（v） lim G(x) x→+ ； （vi） lim G(x) x→− . 解：如图可得： （i） lim ( ) 0 G x x→ − =3 （ii） lim ( ) 0 G x x→ + =3 （iii）由于 lim ( ) 0 G x x→ − = lim ( ) 0 G x x→ + =3，故 lim ( ) 0 G x x→ =3 （iv） G(0) =3 （v） lim G(x) x→+ =0 （vi） lim G(x) x→− 不存在 （5）（i） lim ( ) 2 f x x − →− ；（ii） lim ( ) 2 f x x + →− ；（iii） lim ( ) 2 f x x→− ；（iv） f (−2) ；（v） lim f (x) x→+ ； （vi） lim f (x) x→− . 题图见教材。 解：如图可得： （i） lim ( ) 2 f x x − →− =–∞ （ii） lim ( ) 2 f x x + →− =+∞ （iii）由于 lim ( ) 2 f x x − →− ≠ lim ( ) 2 f x x + →− ，则 lim ( ) 2 f x x→− 不存在. （iv） f (−2) 没定义