所以母线为369或936 旋转轴为y轴 (4)由于方程中y2,2前面的系数一样 所以母线为 旋转轴为x轴 12.说明下列柱面所对应的母线特征与准线方程,并给出其参数方程,画出其草图: Fy 解:(1)因为方程中缺少坐标y,所以该柱面的母线平行于y轴,且准线方程为 9x2+4z2=36 参 x=2 cos u 0≤t≤2丌 0<γ<+0 其参数 方程为(==3sin (2)因为方程中缺少坐标x,所以该柱面的母线平行于x 轴,且准线方程为 y=2y2+6 ∞<1<+∞ 其参数方程为 (3)因为方程中缺少坐标x,所以该柱面的母线平行于 x轴,且准线方 程为4y2+-2 =16 00<l<+o y=2cos1 0≤v≤2 其参数方程为 4 13.指出下列方 程表示怎样的曲面,试写出其参数方程: (1)x+( (2) 解:(1)因为方程中缺少坐标y,所以该方程表示母线平行于y轴的柱面. x=asin 0≤t<2π 0<1<+0 其参数方程为 二= a cos i+a (2)由于方程中x,y前面的系数一样 所以该曲面是由曲线2 或曲线 绕z轴旋转而成的旋转曲面. (3)由于方程中x,y前面的系数一样 所以该曲面是由曲线x2=42或曲线y2=44绕z轴旋转而成的旋转曲面 14.画出下列方程所表示的曲面,试给出它们的参数方程 =1 (2)x+y 4;(3)
所以母线为 1 36 9 2 2 + = x y 或 1 9 36 2 2 + = y z ，旋转轴为 y 轴． （4）由于方程中 2 2 y ,z 前面的系数一样． 所以母线为 1 4 2 2 − = y x 或 1 4 2 2 − = z x ，旋转轴为 x 轴． 12. 说明下列柱面所对应的母线特征与准线方程，并给出其参数方程，画出其草图： (1) ； (2) ； (3) 4 16 2 2 y + z = ． 解：（1） 因为方程中缺少坐标 y ，所以该柱面的母线平行于 y 轴，且准线方程为 9 4 36 2 2 x + z = 方程为 2cos 0 2 3sin x u u y v v z u = = − + = 其参数 （2）因为方程中缺少坐标 x ，所以该柱面的母线平行于 x 轴，且准线方程为 其参数方程为 − + − + = = + = v u z v y v x u 2 6 2 （3）因为方程中缺少坐标 x，所以该柱面的母线平行于 程为 4 16 2 2 x 轴，且准线方 y + z = ． 2cos 0 2π 4sin = − + = = x u u y v v z v 其参数方程为 13. 指出下列方 程表示怎样的曲面，试写出其参数方程： － a) 2 ＝ a 2 ； (2) z ＝－ 2 2 x + y (1) x ； (3) 2 +(z x 2 + y 2 ＝4z． 解：（1）因为方程中缺少坐标 y ，所以该方程表示母线平行于 y 轴的柱面． 其参数方程为 sin 0 2π cos = = − + = + x a u u y v v z a u a （2）由于方程中 2 2 x , y 前面的系数一样． 所以该曲面是由曲线 2 z = − x 或曲线 2 z = − y 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面． （3）由于方程中 2 2 x , y 前面的系数一样． 所以该曲面是由曲线 x 4z 2 = 或曲线 y 4z 2 = 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面． 14. 画出下列方程所表示的曲面，试给出它们的参数方程： (1) x 2 + 1 9 4 2 2 + = y z ； (2) x 2 +y 2 ＝ 4z ； (3)
解:(1)所给方程表示一个椭球,其参数方程为 0≤t<2π y=3sin usin v 0≤v≤ (2)所给方程表示一个旋转抛物面,其参数方程为 Lx =t cos 0 -∞<【<+∞ 0≤6≤2丌 (3)所给方程表示一个开口向下的椭圆抛物面,其参数方程为 0≤t<+00 sIn 0≤6≤2π 15.按指定条件求出直线方程: xt y l=0 (1)平行于直线 2y-z+1=0 且经过点(-1,2,1); 解:法1:经过点平行于两个平面的直线,可以由经过点分别平行于两个平面的平面相 交而成,因而所求直线即为过点分别平行于已知平面的两个平面的交线 过点(-1,2,1)平行于x+y-2-1=0的平面方程为(x+1)+(y-2)-2(=-1)=0 即x+y-2+1=0 过点(-1,2,1)平行于x+2y-z+1=0的平面方程为(x+1)+2(Jy-2)-(x-1)=0 x+ 2=0 x+y-2=+1=0 因此所求直线的一般方程为:x+2y-2-2=0 法2:直线的方向向量为(1,1,-2)×(1,2,-1)=(3,-1,1),所以直线的方程为 2 (2)经过两点(3,-2,-1)和(5,4,5) 3y+2二+1 解:根据两点式得:5-34+25+1 (3)经过点(-5,1,4)且和平面3x-y+22-5=0垂直 解:因为直线与平面垂直,因此直线的方向向量与平面的法向量平行,可取直线的方向 向量为(3,-1,2),则直线的标准方程为:3
0 9 4 2 2 + + z = y x ． 解：（1）所给方程表示一个椭球，其参数方程为 cos sin 0 2π 3sin sin 0 π 2cos = = = x u v u y u v v z v （2）所给方程表示一个旋转抛物面，其参数方程为 2 cos sin 0 2 x t t y t z = − + = = （3）所给方程表示一个开口向下的椭圆抛物面，其参数方程为 2 cos 0 3 sin 0 2π = + = = − x t t y t z t 15．按指定条件求出直线方程： （1）平行于直线 + − + = + − − = 2 1 0 2 1 0 x y z x y z 且经过点（−1，2，1）； 解：法 1：经过点平行于两个平面的直线，可以由经过点分别平行于两个平面的平面相 交而成，因而所求直线即为过点分别平行于已知平面的两个平面的交线． 过点（−1，2，1）平行于 x + y − 2z −1= 0 的平面方程为 (x +1) + ( y − 2) − 2(z −1) = 0 即 x + y − 2z +1 = 0 过点（−1，2，1）平行于 x + 2y − z +1= 0 的平面方程为 (x +1) + 2( y − 2) − (z −1) = 0 即 x + 2y − z − 2 = 0 因此所求直线的一般方程为： + − − = + − + = 2 2 0 2 1 0 x y z x y z 法 2：直线的方向向量为 (1，1，−2)(1，2，−1) = (3，−1，1)，所以直线的方程为： 1 1 1 2 3 1 − = − − = x + y z （2）经过两点（3，−2，−1）和（5，4，5）； 解：根据两点式得： 5 1 1 4 2 2 5 3 3 + + = + + = − x − y z （3）经过点（−5，1，4）且和平面 3x − y + 2z − 5 =０垂直； 解：因为直线与平面垂直，因此直线的方向向量与平面的法向量平行，可取直线的方向 向量为（3，−1，2），则直线的标准方程为： 2 4 1 1 3 5 − = − − = x + y z
16.试求下列直线的标准方程 2x+3y--4=0 (1)(3x-5y+2z+1=0 解:法1:①×2+②消去z,7x+y-7=0,y=7-7x,代入①得到 二 x y 所以直线的标准方程为:19197 法2:直线的方向向量为(2,3,-1)×(3,-5,2)=(1,-7,-19) 线上一点 所以直线的方程为:1-7 19 (2) y=62+3 解:法1:②代入①得到: ②变形后即得 6 所以所求方程为:8 6 法2:直线的方向向量为(1,-1,-2)×(0,1,-6)=(8,6,1) 直线上一点为(-2,3,0) +2 所以直线方成为8 17.两条直线的夹角是指两条直线的方向向量所夹的角(0≤6≤/2),求下列两直线之间 的夹角 2+1与 y 解:第一条直线的方向向量1为:(3,-2,1),第二条直线的方向向量S2为(2,1 cos0=S1S, 6-2+3 设两条直线的夹角为6,则 Sl‖51142,因为0≤0≤兀/2,所以 T 6 5x-3y+3x-9=02x+2y-2+23=0 (2) 3x-2y+2-1=03x+8y+-18=0
16．试求下列直线的标准方程： （1） 2 3 4 0 3 5 2 1 0 x y z x y z + − − = − + + = ； 解：法 1：① 2+②消去 z，7x + y − 7 = 0， y = 7 − 7x ，代入①得到 19 7 + 2 = z y 所以直线的标准方程为： 7 2 19 19 7 7 + = = − x y z 法 2：直线的方向向量为(2,3,-1) (3,-5,2)=(1,-7,-19) 直线上一点 （ ， ， ） 19 11 0 7 所以直线的方程为： 19 19 11 7 7 1 − − = − − = z x y （2） = + = + − 6 3 2 5 y z x z y ； 解：法 1：②代入①得到： 2 8 2 8 x x z z + = − = ，即 ， ②变形后即得： 3 6 y z − = 所以所求方程为： 2 3 8 6 x y z + − = = ． 法 2：直线的方向向量为(1，-1，-2) (0，1，-6)=(8，6，1) 直线上一点为（-2，3，0） 所以直线方成为 z x y = − = + 6 3 8 2 ． 17．两条直线的夹角是指两条直线的方向向量所夹的角（0 π/ 2 ），求下列两直线之间 的夹角： （1） 2 2 3 1 2 3 2 3 3 x t x y z y t z t = − − = = + = − − = + 与 ； 解：第一条直线的方向向量 1 s 为：（3，−2，1），第二条直线的方向向量 2 s 为（2，1， 3） 设两条直线的夹角为 ，则 1 2 1 2 6 2 3 1 cos | || | 14 2 s s s s − + = = = ，因为 0 π/ 2 ，所以 π 3 = （2） + + − = + − + = − + − = − + − = 3 8 18 0 2 2 23 0 3 2 1 0 5 3 3 9 0 x y z x y z x y z x y z 与 ；
解:经过变形得到: x J 第一条直线的标准方程为34 第二条直线的标准方程为2 2,即S2为(2,-1,2) 6 SI s1‖1|√26×√ 6= 所以 18.证明两直线 x-y+2==3 垂直 解:经过变形得到 第一条直线的标准方程为y-2=+2 x-1 第二条直线的标准方程为02 即S2为(0,2,1), 0-2+2 所以 s1‖21|√6×√6 e=2 所以两条直线垂直 19.确定下列方程组所表示的曲线并画出草图: ∫2x+3y+4=12 (1)(y=2 解:两个三元一次方程表示两个平面,因此此方程组表示的是两个平面的交线 图略 解:第一个方程表示一个球面,第二个方程代表一个锥面.他们的交线是一个圆 图略 解:第一个方程表示一个抛物面,第二个方程表示一个平面.它们的交线是一个圆 图略 x= sine y=sin e 20.将空间曲线(=5c00的参数方程化成一般方程 解:由①,②可得:3=4即p45,③可象,9 4 曲线为以上两曲面的交线,所以曲线的一般方程为;(9+25=1
解：经过变形得到： 第一条直线的标准方程为 2 5 3 4 x y z − = = − ，即 1 s 为（3，4，−1）, 第二条直线的标准方程为 1 2 2 2 x z y − + = − = ，即 2 s 为（2，−1，2）, 所以 1 2 1 2 642 cos 0 | || | 26 9 s s s s − − = = = ， π 2 = . 18. 证明两直线 3 2 2 2 4 2 2 2 3 x y z x y z x z x y z + − = − + = − = − + = 与 垂直． 解：经过变形得到： 第一条直线的标准方程为 2 2 2 z x y + = − − = ，即 1 s 为（1，−1，2）, 第二条直线的标准方程为 1 1 0 2 x y z − = = − ，即 2 s 为（0，2，1）, 所以 1 2 1 2 0 2 2 cos 0 | || | 6 6 s s s s − + = = = ， π 2 = . 所以两条直线垂直． 19．确定下列方程组所表示的曲线并画出草图： （1） 2 +3 4 12 2 x y z y + = = ； 解：两个三元一次方程表示两个平面，因此此方程组表示的是两个平面的交线． 图略． （2） 2 2 2 2 2 2 x y z a z x y + + = = + ； 解：第一个方程表示一个球面，第二个方程代表一个锥面．他们的交线是一个圆 图略． （3） 2 2 4 x y z z + = = ； 解：第一个方程表示一个抛物面，第二个方程表示一个平面．它们的交线是一个圆． 图略． 20．将空间曲线 3sin 4sin 5cos x y z = = = 的参数方程化成一般方程． 解：由①，②可得： 4 3 4 3 x y = = 即 y x ；由①③可得： 2 2 1 9 25 x z + = 曲线为以上两曲面的交线，所以曲线的一般方程为： 2 2 4 3 1 9 25 y x x z = + =
21.指出下列方程组在平面直角坐标系下与在空间直角坐标系下分别表示什么图形 解:平面直角坐标系下这两个方程表示两条直线的交点.空间直角坐标系下表示两个平面的 交线 解:平面直角坐标系下表示一个椭圆和一条直线的的交点(其实是切点); 空间直角坐标系下表示一个柱面和一个平面的交线(一条) 22.分别求出母线平行于x轴及y轴并且通过曲线 +2-y2=0的柱面方程 解:要求母线平行于x轴且过已知曲线的柱面方程,只要将方程组的x消去即可 ①②×2得 同理母线平行于y轴且过所给曲线的柱面方程只要将方程组的y消去 ①+②得:3x2+ 23.求球面x2+y2+2=9与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影方程 解:过此交线且母线平行于z轴的柱面方程为:x+y2+(1-x)2=9 整理得:2x2-2x+y2=8,所以交线在xOy面上的投影方程为:(:D*1-x2=9 x-+ 24.求旋转抛物面=x+y(0≤≤4)在三坐标面上的投影: 解: 在xOz平面上的投影区域为zx2,0≤zs4 在y平面上的投影区域为=sy2,0≤z≤4 在xOy平面上的投影区域为x2+y2<4 +2 25.求曲线(z=3 在xOy面上的投影曲线的方程,并指出原曲线是什么曲线 2x+9=0 2x+9=0,所以所求方程为 解:消去z得到: -2x+9=0 原曲线可化为(=3 ,由此可知是一条抛物线 26.指出下列方程所表示的曲线: x2-4y2+z2=25 (1)(x=-3 解:将②代入①得到4y2-x2+16=0,所以是一条双曲线 y2+z2-4x+8=0 (2)(y=2
21．指出下列方程组在平面直角坐标系下与在空间直角坐标系下分别表示什么图形． （1） 5 1 2 3 y x y x = + = − ； 解：平面直角坐标系下这两个方程表示两条直线的交点．空间直角坐标系下表示两个平面的 交线． （2） 2 2 1 4 9 3 x y y + = = ； 解：平面直角坐标系下表示一个椭圆和一条直线的的交点（其实是切点）； 空间直角坐标系下表示一个柱面和一个平面的交线（一条）． 22．分别求出母线平行于 x 轴及 y 轴并且通过曲线 2 2 2 2 2 2 2 16 0 x y z x z y + + = + − = 的柱面方程。 解：要求母线平行于 x 轴且过已知曲线的柱面方程，只要将方程组的 x 消去即可： ①-②×2 得： 2 2 3 16 y z − = 同理母线平行于 y 轴且过所给曲线的柱面方程只要将方程组的 y 消去： ①+②得： 2 2 3 2 16 x z + = 23．求球面 2 2 2 x y z + + = 9 与平面 x z + =1 的交线在 xOy 面上的投影方程． 解：过此交线且母线平行于 z 轴的柱面方程为： 2 2 2 x y x + + − = (1 ) 9， 整理得： 2 2 2 2 8 x x y − + = ，所以交线在 xOy 面上的投影方程为： 2 2 2 (1 ) 9 0 x y x z + + − = = 24．求旋转抛物面 2 2 z x y = + (0 ≤ z ≤ 4) 在三坐标面上的投影： 解： 在xoz z 平面上的投影区域为 ≤ 2 x ，0 ≤ z ≤ 4 在yoz z 平面上的投影区域为 ≤ 2 y ，0 ≤ z ≤ 4 2 2 在xoy x y 平面上的投影区域为 + ≤ 4 25．求曲线 2 2 2 0 3 y z x z + − = = 在 xOy 面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线． 解：消去 z 得到： 2 2 2 9 0 2 9 0 z=0 y x y x − + = − + = ，所以所求方程为： ； 原曲线可化为 2 2 9 0 3 y x z − + = = ，由此可知是一条抛物线． 26．指出下列方程所表示的曲线： （1） 2 2 2 4 25 3 x y z x − + = = − ； 解：将②代入①得到 2 2 4 16 0 y z − + = ，所以是一条双曲线． （2） 2 2 4 8 0 2 y z x y + − + = = ；