1.试利用贷款各参数间的关系式,完成以下公积金贷款利率表(表1-9) 表1-9个人住房公积金贷款利率表 年|月数月利率/%年利率/%月还款额 本息总额总利息 123.454.14到期一次还本付息|10414.00041400 3.45 4.14 434.873 10436.943436.943 3.45 295.863 10651.069651.069 3.45 4.14 226.418 10868.043868.043 5 3.45 4.14 184.798 11087.8611087.861 3.825 4.59 159,154 11459.1 67890 3.8254.59 139.421 11711.3301711.330 3.825 24.656 11967.0111967.011 3.825 4.59 113.205 12226.1512226.151 120 3.825 104.073 12488.7362488.736 2.某工厂有一水池,其容积为100m3,原有水为10m3.现在每10min注入05m 的水.试将水池中水的体积表示为时间t的函数,且问需用多少min水池才能灌满? 解设水的体积为V,则V=0.051+1 100-10 180 0.05 3.以速率A(单位:cm3/s)往一圆锥形容器注水.容器的半径为Rcm,高为H.试 将容器中水的体积分别表示成时间t与水高度y的函数 V=At;V=xRyy≤H 解 4.(手机服务的选择问题)假设目前的手机收费标准是这样的:“133环保网”的收费 为每月基本费用50元,每通话1min(不足1mn按1min计算)再加收0.2元:“神州行” 无每月基本费用,但按每通话1min(不足1min按Imin计算加收0.6元计算话费.若仅 在本地区使用手机,如何选择手机服务?请给出一个建议 解133环保网话费为S=50+02;神州行话费为S2=06t S1-S2=50-04≤0时,即1≥125(h)时,S≤S2,即使用“133环保网”所需交 纳的话费较少 若每月通话时间不足125mn则用“神州行”合适 5.某公司每天要支付一笔固定费用300元(用于房租与薪水等),它所出售的食品的 生产费用为1元/kg,而销售价格为2元/kg.试问他们每天应当销售多少kg食品才能使 公司的收支保持平衡?
习 题 1 1．试利用贷款各参数间的关系式，完成以下公积金贷款利率表（表 1-9）． 表 1-9 个人住房公积金贷款利率表 年 份 月数 月利率/‰ 年利率/% 月还款额 本息总额 总利息 1 12 3.45 4.14 到期一次还本付息 10 414.000 414.000 2 24 3.45 4.14 434.873 10 436.943 436.943 3 36 3.45 4.14 295.863 10 651.069 651.069 4 48 3.45 4.14 226.418 10 868.043 868.043 5 60 3.45 4.14 184.798 11 087.861 1 087.861 6 72 3.825 4.59 159.154 11 459.117 1 459.117 7 84 3.825 4.59 139.421 11 711.330 1 711.330 8 96 3.825 4.59 124.656 11 967.011 1 967.011 9 108 3.825 4.59 113.205 12 226.151 2 226.151 10 120 3.825 4.59 104.073 12 488.736 2 488.736 2． 某工厂有一水池，其容积为 100 3 m ，原有水为 10 3 m ． 现在每 10min 注入 0.5 3 m 的水． 试将水池中水的体积表示为时间 t 的函数，且问需用多少 min 水池才能灌满？ 解 设水的体积为 V， 则 V=0.05t + 10 100 10 180 0.05 t − = = (min) 3． 以速率 A (单位： 3 cm s/ )往一圆锥形容器注水． 容器的半径为 R cm，高为 H ． 试 将容器中水的体积 V 分别表示成时间 t 与水高度 y 的函数． 解 1 2 y 3 V At V R y H = = ； 4． (手机服务的选择问题)假设目前的手机收费标准是这样的：“133 环保网”的收费 为每月基本费用 50 元，每通话 1 min(不足 1 min 按 1 min 计算)再加收 0.2 元；“神州行” 无每月基本费用，但按每通话 1 min(不足 1 min 按 1 min 计算)加收 0.6 元计算话费．若仅 在本地区使用手机，如何选择手机服务？请给出一个建议． 解 133 环保网话费为 1 S t = + 50 0.2 ；神州行话费为 2 S t = 0.6 1 2 S S t − = − 50 0.4 ≤0 时，即 t ≥125（h）时， 1 S ≤ 2 S ，即使用“133 环保网”所需交 纳的话费较少， 若每月通话时间不足 125 min 则用“神州行”合适． 5． 某公司每天要支付一笔固定费用 300 元(用于房租与薪水等)，它所出售的食品的 生产费用为 1 元/kg，而销售价格为 2 元/kg．试问他们每天应当销售多少 kg 食品才能使 公司的收支保持平衡?
解(2-1)x=300,x=30(kg) 6.设某商品的供给函数(即供给量作为价格的函数)为S(x)=x+3X-70,需求函 数(即需求量作为价格的函数)为D(x)=410-x,其中x为价格 (1)(1)在同一坐标系中,画出S(x)D(x)的图形 (22)若该商品的需求量与供给量均衡,求其价格 解S(x)=D(x)分x2+3x-70=410-x→x=24,x2=20由实际意义取x=20 有一物体作直线运动,已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比,但方向 相反.当物体以4m/s的速度运动时,阻力为2N,试建立阻力与速度之间的函数关系 k=y=4=05Nm,即N=05y 8.一架飞机起飞用油是一个固定量,着陆用油是一个(不同的)固定量,空中飞行每km 用油也是一个固定量,所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的?写出有关函数的表达 式.解释表达式中常数的意义 解设起飞用油为S,着陆用油S2,空中飞行用油为53,则S,S2为常量,其中S=M, 其中k为飞行每km用油量,l为航程,因此所需燃料总量 LS=S+S,+S,=S,+S,+kl 9.财产保险要估价财产,例如对小汽车或冰箱进行估价.财产的价值将随其使用时 间的加长而降低,也就是会贬值.例如最初花100000元购买的小汽车,几年后只值50000 元.计算财产值的最简单方法是利用“贬值直线”,它假定财产价值是时间的线性函数.如 果一个1950美元的冰箱7年后贬得一文不值,求出其价值作为时间函数的表达式 解设财产价值为V,时间为t,则此线性函数可设为V=k+ =0时,V=1950=b;I=7时,V=7k+b=7k+1950=0,k=-250 所以V=-2501+1950 10.(1)利用表1-10中的数据确定一个形如 o=0.e 的公式.该公式给出了时刻t(以月计)时,兔子的数量9. (2)该兔子种群的近似倍增期是多少? (3)利用你的方程预测该兔子种群何时达到1000只 表1-10 解(1)解方程组:(43=9!已 391 25=Oe0 ,所以公式为Q=25e054 (2)由2=e得到:t=128(月)
解 (2 1) 300 300 − = = x x ， (kg) 6． 设某商品的供给函数(即供给量作为价格的函数)为 ( ) 3 70 2 S x = x + x − ， 需求函 数(即需求量作为价格的函数)为 D(x) = 410 − x ， 其中 x 为价格． (1)(1)在同一坐标系中，画出 S(x), D(x) 的图形； (2)(2)若该商品的需求量与供给量均衡，求其价格． 解 2 1 2 S x D x x x x x x ( ) ( ) 3 70 410 24 20 = + − = − = − = ， 由实际意义取 x=20 7． 有一物体作直线运动，已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比，但方向 相反．当物体以 4m/s 的速度运动时，阻力为 2 N，试建立阻力与速度之间的函数关系． 解 设 2 0.5Ns/m 0.5 4 N N kv k N v v = = = = = ， ，即 8． 一架飞机起飞用油是一个固定量，着陆用油是一个(不同的)固定量，空中飞行每 km 用油也是一个固定量，所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的？写出有关函数的表达 式．解释表达式中常数的意义． 解 设起飞用油为 1 s ，着陆用油 2 s ，空中飞行用油为 3 s ，则 1 2 s s ， 为常量，其中 3 s kl = ， 其中 k 为飞行每 km 用油量， l 为航程，因此所需燃料总量 1 2 3 1 2 S s s s s s kl = + + = + + 9． 财产保险要估价财产，例如对小汽车或冰箱进行估价．财产的价值将随其使用时 间的加长而降低，也就是会贬值．例如最初花 100 000 元购买的小汽车，几年后只值 50 000 元．计算财产值的最简单方法是利用“贬值直线”，它假定财产价值是时间的线性函数．如 果一个 1 950 美元的冰箱 7 年后贬得一文不值，求出其价值作为时间函数的表达式． 解 设财产价值为 V ，时间为 t ，则此线性函数可设为 V kt b = + ； t = 0 时， V b = = 1 950 ； t V k b k k = = + = + = = − 7 7 7 1 950 0 250 时， ， ； 所以 V t = − + 250 1 950 10．(1) 利用表 1-10 中的数据确定一个形如 0 e rt Q Q= 的公式．该公式给出了时刻 t (以月计)时，兔子的数量 Q ． (2) 该兔子种群的近似倍增期是多少? (3) 利用你的方程预测该兔子种群何时达到 1 000 只． 表 1-10 t 0 1 2 3 4 5 Q 25 43 75 130 226 391 解 （1）解方程组： 0 0 0 0 25 e 25 43 e 0.54 r Q Q Q r = = = = ，所以公式为 0.54 25e t Q = （2）由 0.54 2 e t = 得到： t =1.28 (月)
(3)由1000=25e得到:t=683(月) 注:求r的时候可以选取任意两组数据进行计算,也可以用其他方式进行计算,比如用各 相邻两组数据的差的平均值.结果略有差异 1l.旅客乘坐火车时,随身携带物品,不超过20kg免费,超过20kg部分,每kg收 费020元.超过50kg部分再加收50%.试列出收费与物品重量的函数关系式 解设收费为P,物重为W,则当W≤20时,P=0 20<W<50时,P=0.2(W-20) W>50时,P=0.2(W-20)+0.5(W-50) 12.某停车场收费标准为:凡停车不超过2h的,收费2元:以后每多停车1h(不到 lh仍以1h计)增加收费0.5元.但停车时间最长不能超过5h.试建立停车费用与停车时 间之间的函数关系模型 解设收费为P,停车时间为T,则当T≤2时,P=2 2<T<5,P=2+(T-2)×0.5=0.57+1 设仪器由于长期磨损,使用x年后的价值是由下列模型 O(x)=Qe-0Hx 确定的.使用20年后,仪器的价值为8986.58元.试问当初此仪器的价值为多少? 解 由Q(x)=Q0e0x 将 20,Q(20)=8986.58 代入得到 8986.58=90c→90=200000元) 生物在稳定的理想状态下,细菌的繁殖按指数模型增长: Q()=ce(表示min后的细菌数) 假设在一定的条件下,开始(=0)时有200个细菌,且20mm后已增加到6000个, 试问1h后将有多少个细菌? Q(0)=a=2000 Q(20)=20006=6000→c20=3: 解Q(60)=2006200c0)=2000×3=54000个 15.大气压力P随着离地球表面的高度h的增加而呈指数减少: P 其中0是海平面处的大气压力,h以m计 (1)珠穆朗玛峰的顶峰海拔高8848.13m,那里的大气压力是多少?将其表示为海平面 处大气压力的百分数 (2)一架普通商用客机的最大飞行高度大约是1200m.此高度的大气压力是多少?
（3）由 0.54 1000 25e t = 得到： t = 6.83 (月) 注：求 r 的时候可以选取任意两组数据进行计算，也可以用其他方式进行计算，比如用各 相邻两组数据的差的平均值．结果略有差异． 11． 旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过 20 kg 免费，超过 20 kg 部分，每 kg 收 费 0.20 元． 超过 50 kg 部分再加收 50 %． 试列出收费与物品重量的函数关系式． 解 设收费为 P ，物重为 W ，则当 W ≤20 时， P = 0 ； 20<W ≤ 50 0.2( 20) 时，P W = − 50 0.2( 20) 0.5( 50) W P W W = − + − 时， 12． 某停车场收费标准为：凡停车不超过 2 h 的，收费 2 元；以后每多停车 1 h(不到 1 h 仍以 1 h 计)增加收费 0.5 元．但停车时间最长不能超过 5 h．试建立停车费用与停车时 间之间的函数关系模型． 解 设收费为 P ，停车时间为 T ，则当 T ≤ 2 2 时，P = ； 2<T ≤ 5 2 ( 2) 0.5 0.5 1 ，P T T = + − = + 13． 设仪器由于长期磨损，使用 x 年后的价值是由下列模型 0.04 0 ( ) e x Q x Q − = 确定的．使用 20 年后，仪器的价值为 8 986.58 元．试问当初此仪器的价值为多少? 解 由 0 0.04 ( ) e x Q x Q − = ， 将 x Q = = 20 (20) 8 986.58 ， 代 入 得 到 ： 0 0 0.04 20 8 986.58 e 20 000( ) Q Q − = = 元 14． 生物在稳定的理想状态下，细菌的繁殖按指数模型增长: ( ) ekt Q t a = (表示 t min 后的细菌数) 假设在一定的条件下，开始 (t = 0) 时有 2 000 个细菌，且 20 min 后已增加到 6 000 个， 试问 1 h 后将有多少个细菌? 解 20 20 60 20 3 3 (0) 2 000 (20) 2 000e 6 000 e 3 (60) 2 000e 2 000(e ) 2 000 3 54 000( ) = = = = = = = = = k k k k Q a Q Q ； ； 个 15． 大气压力 P 随着离地球表面的高度 h 的增加而呈指数减少： 4 1.2 10 0 e − − = h P P 其中 P0 是海平面处的大气压力， h 以 m 计． (1) 珠穆朗玛峰的顶峰海拔高 8 848.13 m，那里的大气压力是多少？将其表示为海平面 处大气压力的百分数； (2) 一架普通商用客机的最大飞行高度大约是 12 000 m． 此高度的大气压力是多少？
将其表示为海平面处大气压力的百分数 (1)P=Pe120×84813=03458=3458%P 解(2P=Pe120×1200=02369=2369%P 16.某工厂的空气经过过滤使得污染数量P(单位:mgL)正按照方程P=Pe减少 其中【表示时间(单位:h).如果在前5h内消除了10%的污染物: (1)10h后还剩百分之几的污染物? (2)污染减少50%需花多少时间 (3)画出污染物关于时间的函数图象,在图象上表示出你的计算结果 (4)解释污染量以这种方式减少的可能原因 P=Pe-,t=5时,有(1-10%)P=Pe-5,e-5k=09,k=0.021 (1)P(10)=Pc-=P(e)2=0.81P=81% 解(2)P()=Pe=50%→(c)=05→t=33h) (3)图像略。 (4)略。 17.某有机体死亡【年后所剩的放射性碳-14含量由式 Q =O.e-0.000 121t 给出,其中0是初始量 (1)考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳-14含量的15%,估计该头盖骨的年 (2)试根据此方程计算碳-14的半衰期 解(1)由Q=gc:159Q=Q01=1=156787年) (2)50%=0e001=572894年) 18.一幅佛m尔( Vermeer.1632-1675)的绘画含有其原有碳-14(半衰期为5739年)含 量的99.5%.根据这一信息,是否能判断出该画是不是赝品,请解释理由 解由上一道题目=se000b 99.5%=Qc 0.00012 →t=414(年) 即这幅画只有40多年的历史,由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品 19.某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间 依正弦曲线改变 (1)画出种群总量关于时间的图象 2)求出种群量作为时间t的函数的表达式,其中t以月为单位计量
将其表示为海平面处大气压力的百分数． 解 4 4 1.2 10 8 848.13 0 0 0 1.2 10 12 000 0 0 0 (1) 0.345 8 34.58 % (2) 0.236 9 23.69 % e e − − − − = = = = = = P P P P P P P P 16． 某工厂的空气经过过滤使得污染数量 P (单位：mg/L)正按照方程 0 e kt P P − = 减少， 其中 t 表示时间（单位：h）．如果在前 5 h 内消除了 10 % 的污染物： (1) 10 h 后还剩百分之几的污染物？ (2) 污染减少 50 % 需花多少时间？ (3) 画出污染物关于时间的函数图象，在图象上表示出你的计算结果． (4) 解释污染量以这种方式减少的可能原因． 解 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 5 5 10 5 e 5 10 %) e e 0.9 0.021 (1) (10) e (e ) 0.81 81 % (2) ( ) e 50 % (e ) 0.5 33(h − − − − − − − = = = = = = = = = = = = = t kt k k k k kt k P P t P P k P P P P P P t P P t ， 时，有(1- ， ， ) (3) 图像略。 (4) 略。 17． 某有机体死亡 t 年后所剩的放射性碳-14 含量 Q 由式 0.000 121 0 e t Q Q − = 给出，其中 Q0 是初始量． (1) 考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳-14 含量的 15%，估计该头盖骨的年龄． (2) 试根据此方程计算碳-14 的半衰期． 解 (1) 由 0 0 0 0.000 121 0.000 121 e 15 % e 15 678.7 − − = = = t t Q Q Q Q t ； （年） (2) 0 0 0.000 121 50 % 5 728.94 − = = t Q Q e t （年） 18． 一幅佛 m 尔(Vermeer)(1632—1675)的绘画含有其原有碳-14(半衰期为 5 739 年)含 量的 99.5 %．根据这一信息，是否能判断出该画是不是赝品，请解释理由． 解 由上一道题目 0 0 0 0.000121 0.000 121 e 5% e 41.4 − − = = = t t Q Q Q Q t ； 99. （年） 即这幅画只有 40 多年的历史，由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品． 19． 某动物种群数量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间 依正弦曲线改变． (1) 画出种群总量关于时间的图象． (2) 求出种群量作为时间 t 的函数的表达式，其中 t 以月为单位计量．
y 90o 800 750 解(1) 2468101 A=800+100sin(,x (2)设群量为A,则 20.同一元素的不同类(称为同位素)可能具有很不同的半衰期.钚-240的衰减由公式 0=0 给出,而钚-242的衰减则由公式 O=O 0.000001 给出,求钚-240和钚-242的半衰期 解(1)钚-240:9=50%0=Qc00→t=630134年) (2)钚242:2=5090=Qe-000101=385082(年) 21.某一储水池中水的深度在水的平均深度7m上下每隔6h完成一次正弦振荡.如 果最小深度为55m,最大深度为85m,求出水的深度表达式(单位:h)(可能的答案很多) 解设水的深度表达式为:H=ASm(n+p)+B,由题意可知,周期T=6。从而 -3,A=15,B=7则水深表达式为: H=1.5sm(t+q)+7 其中φ任意。 22.在一个拥有80000人的城市里,在时刻【得感冒的人数为 10000 N() 1+9999 其中t是以天为单位.试求开始感冒的人数及第4天感冒的人数 N(t)= =0时,N(0) 解由 1+9999e 1+999c(人) N(4)= 1+9999e e+-(人) 23.将下列函数分解成基本初等函数的复合 (1)y=sIn x
解 (1) (2)设群量为 A，则 2 800 100sin( ) 12 2 A x = + − 20． 同一元素的不同类(称为同位素)可能具有很不同的半衰期．钚-240 的衰减由公式 0.00011 0 e t Q Q − = 给出，而钚-242 的衰减则由公式 0.0000018 0 e t Q Q − = 给出，求钚-240 和钚-242 的半衰期． 解 (1) 钚-240： 0 0 0.000 11 50 % e 6 301.34 − = = = t Q Q Q t （年） (2) 钚-242： 0 0 0.000 001 8 50 % 385 082 − = = = t Q Q Q e t （年） 21． 某一储水池中水的深度在水的平均深度 7 m 上下每隔 6 h 完成一次正弦振荡．如 果最小深度为 5.5 m，最大深度为 8.5 m，求出水的深度表达式(单位：h)(可能的答案很多)． 解 设水的深度表达式为： H = Asin( t +) + B ，由题意可知，周期 T = 6 。从而 3 π = ， A =1.5， B = 7 则水深表达式为： H = 1.5sin( t +) + 7 3 π 其中 任意。 22． 在一个拥有 80 000 人的城市里，在时刻 t 得感冒的人数为 10 000 ( ) 1 9 999e N t −t = + 其中 t 是以天为单位．试求开始感冒的人数及第 4 天感冒的人数． 解 由 0 10 000 10 000 ( ) 0 (0) 1 1 9 999e 1 9 999e − = = = = + + t N t t N ， 时， （人） 4 10 000 (4) 54 1 9 999e− = = + N （人） 23． 将下列函数分解成基本初等函数的复合 (1) y x 2 = sin ； (2) y = ln tg2x ； (3) 2 (1 ) 2 x z e − = − ； (4) ln( 1 ) 2 y = x + + x ．