lim f(x) lim f(x) (vi)x-∞ lim f(x) lim f(x) lim f(x) (6)(i) (ii)r-10*:(iii)I :(i)f(3):(y)mm:(vi) lim f(x) 解:如图可得: lim f(x) mf(x)2∞ lim f(x) lim f(x) lim f(x) (i)因为x-0≠x0,故x40不存在 (ⅳv)f(3)=3.5 lim f(x) lim f(x) 6.计算下列各极限 lm(-3) (1) lm(-3) .- lim(12y) (2)y→3 (12y) 解: =12×3=36 6 lim (3)x0x3-12x+3 6x-9 解:x0x3-12x+3=03-12×0+3=-3 (4)x=1x (x-1(x+1)(x2+1) =lm lim(x+1Xx2+1)=4 解 (5)
（v） lim f (x) x→+ =0 （vi） lim f (x) x→− =2 （6）（i） lim ( ) 0 f x x→ − ；（ii） lim ( ) 0 f x x→ + ；（iii） lim ( ) 0 f x x→ ；（iv） f (3) ；（v） lim f (x) x→+ ；（vi） lim f (x) x→− . 解：如图可得： （i） lim ( ) 0 f x x→ − =1 （ii） lim ( ) 0 f x x→ + =–∞ （iii）因为 lim ( ) 0 f x x→ − ≠ lim ( ) 0 f x x→ + ，故 lim ( ) 0 f x x→ 不存在. （iv） f (3) =3.5 （v） lim f (x) x→+ =+∞ （vi） lim f (x) x→− =+∞ 6. 计算下列各极限： （1） lim (−3) x→− ； 解： lim (−3) x→− =–3 （2） lim (12 ) 3 y y→ + ； 解： lim (12 ) 3 y y→ + =12×3=36 （3） 12 3 6 9 lim 3 0 − + − → x x x x ； 解： 12 3 6 9 lim 3 0 − + − → x x x x = 3 6 0 9 0 12 0 3 − − + =–3 （4） 1 1 lim 4 1 − − → − x x x ； 解： 4 2 2 1 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) lim lim lim( 1)( 1) 4 x x x 1 1 x x x x x x x x → → → − − − − − + + = = + + = − − （5） 2 5 3 1 lim − + →+ x x x ；
3x+1 3 lim lim 解: 2 x-2 0 解: lm(√x2+3x-x) in(√x2+3x lim 3 解: 7.计算下列各极限 lim sinx= lim sin x=_lim snx=-1 (2) sin2 in x=0 解 lim lin lim(1+cos k)=2 解:k-01- cos k k-01-cosk sInx-s lim sin x-sinI 2 sin COs Sin x-l lir 解
解： 1 3 3 1 3 lim lim 2 5 2 5 2 x x x x x x →+ →+ + + = = − − （6） 2 1 2 lim 2 + + − →− x x x x ； 解： 2 2 2 1 2 2 lim lim 0 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x →− →− − − = = + + + + （7） lim ( 3 ) 2 x x x x + − →+ ； 解： 2 2 3 3 3 lim ( 3 ) lim lim 3 3 2 1 1 x x x x x x x x x x x →+ →+ →+ + − = = = + + + + 7. 计算下列各极限： （1） x x x sin lim 0 → − ； 解： 0 0 0 sin sin sin lim lim lim 1 x x x x x x x x x → → → − − − = = − = − − （2） 2 2 3 sin lim x x x→+ ； 解： 2 2 2 2 sin 1 lim lim sin 0 x x 3 3 x x →+ →+ x x = = （3） k k k 1 cos sin lim 2 →0 − ； 解： 2 2 2 2 2 0 0 0 0 sin sin (1 cos ) sin (1 cos ) lim lim lim lim(1 cos ) 2 k k k k 1 cos 1 cos sin k k k k k k → → → → k k k + + = = = + = − − （4） 1 sin sin1 lim 1 − − → x x x ； 解： 1 1 1 1 1 1 2sin cos sin sin sin1 1 2 2 2 lim lim lim cos cos1 1 1 2 1 2 x x x x x x x x → → → x x x − + − − + = = = − − −
lm(1+3x) (5) im(1+3x)2=lim(1+3x)3x=e im(32+52)x 解: im(3+52)x lim 5 1=lim 5 =lim5{1+ x→+0 3了 5·e0=5 8.在距建筑物Lm处看建筑物的视角为a,由此可知建筑物的高度为h= Tana (1)当L=500m,a=6时,试用公式h= Tana计算建筑物的高度 la h (2)当∝很小时,由于tana与a是等价无穷小,从而可将公式近似为180,求 (1)中的h,比较二者的结果 解:(1)当L=500m,a=6时,h= Tana=500×tan6°≈52.5521(m) T h hm=507≈523599 (2)用近似公式 80计算为180 (m),它比(1)中的精 确值较小,且误差较大 9.已知某药物在人体内的代谢速度V与药物进入人体的时间t呈现函数关系 =24611-0273).试画出该函数的大致图形,并求出代谢速度最终的稳定值(即t→+
（5） x x x 1 0 lim (1+ 3 ) → ； 解： 3 1 1 3 3 0 0 lim(1 3 ) lim (1 3 ) e x x x x x x → → + = + = （6） x x x x 1 lim (3 + 5 ) →+ ； 解： 1 1 1 3 5 1 3 5 3 5 lim 1 3 5 lim (3 5 ) 3 3 lim 5 1 lim 5 1 5 5 3 lim 5 1 5 3 5 lim 1 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →+ →+ →+ →+ →+ →+ + = + = + = + = + 0 5 e 5 x x = = 8. 在距建筑物 L m 处看建筑物的视角为 ，由此可知建筑物的高度为 h L = tan . （1）当 L = 500 m， = 6 时，试用公式 h L = tan 计算建筑物的高度； （2）当 很小时，由于 tan 与 是等价无穷小，从而可将公式近似为 180 = L h ，求 （1）中的 h ，比较二者的结果. 解：（1）当 L = 500 m， = 6 时， h L = tan =500×tan6°≈52.552 1（m） （2）用近似公式 180 = L h 计算为 50 52.359 9 180 3 = L h （m），它比（1）中的精 确值较小，且误差较大. 9. 已知某药物在人体内的代谢速度 v 与药物进入人体的时间 t 呈现函数关系 24.61(1 0.273 ) t v = − . 试画出该函数的大致图形，并求出代谢速度最终的稳定值（即 t →+
时v的极限) 解:函数大致图形如下: 24.6 24.5 24.4 24.3 24.2 24.1 15 limv=lim246l(1-0.273)=2461 注意到t→+t→+ 从而代谢速度最终的稳定值是24.61 10.假定某种疾病流行t天后,感染的人数N由下式给出: M=-000000 (1)从长远考虑,将有多少人染上这种病? (2)有可能某天会有100多万人染上病吗?50万人呢?25万人呢?(注:不必求 出到底哪天发生这样的情形.) lim n= lim 1000000 -=1000000 (1)注意到→+ →+a1+5000e 故从长远考虑,将有100万 人染上这种病. (2)不会有100多万人染上这种病,但可能某一天会有50万人或25万人染上它 11设清除费用C(x)与清除污染成分的x%之间的函数模型为 lim C(x) Im C(x) 求(1)x80 (3)能否100%地清除污染 解: lim C(x)=lim/3003 =29200 (1) →80100-x lim C(x)=lin 7300x=+ (2) (3)由(2)可知,要想100%地清除污染,清除费用C(x)是无限大的,因此不能
时 v 的极限）. 解：函数大致图形如下： 5 10 15 20 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24.6 注意到 lim lim 24.61(1 0.273 ) 24.61 t t t v →+ →+ = − = ，从而代谢速度最终的稳定值是 24.61. 10. 假定某种疾病流行 t 天后，感染的人数 N 由下式给出： 0.1 1 000 000 1 5 000e− = + N t （1）从长远考虑，将有多少人染上这种病？ （2）有可能某天会有 100 多万人染上病吗？50 万人呢？25 万人呢？（注：不必求 出到底哪天发生这样的情形.） 解： （1） 注意到 0.1 1 000 000 lim lim 1 000 000 1 5 000e →+ →+ − = = + t t t N ，故从长远考虑，将有 100 万 人染上这种病. （2） 不会有 100 多万人染上这种病，但可能某一天会有 50 万人或 25 万人染上它. 11. 设清除费用 C(x) 与清除污染成分的 x % 之间的函数模型为 7 300 ( ) 100 = − x C x x 求（1） lim ( ) 80 C x x→ ；（2） lim ( ) 100 C x x→ − ；（3）能否 100 % 地清除污染. 解： （1） 80 80 7 300 lim ( ) lim 29 200 → → 100 = = x x − x C x x （2） 100 100 7 300 lim ( ) lim 100 → → − − = = + x x − x C x x （3） 由（2）可知，要想 100 % 地清除污染，清除费用 C(x) 是无限大的，因此不能
否100%地清除污染. 12.已知生产x对汽车挡泥板的成本是C(x)=80+8√1+x2(单位:元),每对的售 价为40元.于是销售收入为(x)=40x (1)出售x+1对比出售x对所产生的利润增长额为 /(x)=[R(x+1)-C(x+1)-[R(x)-C(x 当产量稳定、生产量很大时,这一增长额为 Im I(x) 试求这一极限值 (2)生产了x对挡泥板时,每对的平均成本为x,同样当产品产量很大时,每对 C(x) 的成本大致是x+x,试求这一极限 解:(1)l(x)=[R(x+1)-C(x+1)-[R(x)-C(x =[40(x+1)-(80+8√/+(x+1))-[40x-(80+8V/+x2) 40+81+x2-8+(x+ Im /(x 求x→+,实质上是求 imn8+x2-8+(x+1) 4(1+x2)-64[1+(x+1)2] +(x+1)2 -128x-64 8√1+x2+8√/1+(x+1)2 +1+,+1 lim/(x)=40-8=32 于是 lim c(r) li =lim=+8,|+1|=8 x→+x x→+∞ 13.放入200℃烤炉中的甘薯的温度T由下列关于时间t的函数给出: T=a(1 )+b 其中T的单位是℃,t以min为单位,k>0
否 100 % 地清除污染. 12. 已知生产 x 对汽车挡泥板的成本是 2 C(x) = 80 + 8 1+ x （单位：元），每对的售 价为 40 元. 于是销售收入为 R(x) = 40x . （1）出售 x+1 对比出售 x 对所产生的利润增长额为 I(x) = [R(x +1) −C(x +1)] −[R(x) −C(x)] 当产量稳定、生产量很大时，这一增长额为 lim I(x) x→+ ，试求这一极限值； （2）生产了 x 对挡泥板时，每对的平均成本为 x C(x) ，同样当产品产量很大时，每对 的成本大致是 x C x x ( ) lim →+ ，试求这一极限. 解：（1） I x R x C x R x C x ( ) [ ( 1) ( 1)] [ ( ) ( )] = + − + − − 2 2 2 2 [40( 1) (80 8 1 ( 1) )] [40 (80 8 1 )] 40 8 1 8 1 ( 1) = + − + + + − − + + = + + − + + x x x x x x 求 lim I(x) x→+ ，实质上是求 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim [8 1 8 1 ( 1) ] 64(1 ) 64[1 ( 1) ] lim 8 1 8 1 ( 1) 128 64 lim 8 1 8 1 ( 1) 8 16 lim 1 1 1 1 1 8 x x x x x x x x x x x x x x x x x →+ →+ →+ →+ + − + + + − + + = + + + + − − = + + + + − − = + + + + = − 于是， lim ( ) 40 8 32 x I x →+ = − = （2） 2 2 ( ) 80 8 1 80 1 lim lim lim 8 1 8 x x x C x x →+ →+ →+ x x x x + + = = + + = 13. 放入 200 ℃ 烤炉中的甘薯的温度 T 由下列关于时间 t 的函数给出： T a e b k t = − + − (1 ) 其中 T 的单位是 ℃，t 以 min 为单位，k>0