概率论第10讲 相互独立随机变量的和 相关系数 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 2021/2/20
2021/2/20 1 概率论第10讲 相互独立随机变量的和 相关系数 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)
当一个随机变量服从零-壹分布时,它 的分布密度如下表所示 0 (0<p<1) 概率1-p 因此,E20×(1-p)+1xpp E2=02×(1-p)+12×p=p D2E2-(E22=p-p2=p(1-p) 现在设随机变量5与,…,相互独立且每个 都服从同一个零一分布,来求出 7n=1+2+…+E的分布 2021/2/20
2021/2/20 2 当一个随机变量x服从零-壹分布时, 它 的分布密度如下表所示 x 0 1 概率 1-p p (0<p<1) 因此, Ex=0(1-p)+1p=p Ex 2=02(1-p)+12p=p Dx=Ex 2-(Ex) 2=p-p 2=p(1-p) 现在设随机变量x1 ,x2 ,...,xn相互独立且每个 都服从同一个零一分布, 来求出 hn =x1+x2+...+xn的分布
这里,每个只能取0,1(÷=1,2,…,n).因此, 7n只能取0,1,2,…,n.设为这些数字中的 任一个.mn取连等于说与,与,…,E中恰好有a 个值取1而其余的取0.在51,2,,En中计个 取1而其余取0的共有种方式这些 方式两两互斥按诸与的相互独立性,每 种方式出现的概率为p(1-p)".因此 P{n=li}=p(1-p)”(i=0.1,2,…,n 即mn服从,z(m,p) 3 2021/2/20
2021/2/20 3 这里, 每个xi只能取0,1(i=1,2,...,n). 因此, hn只能取0,1,2,...,n. 设i为这些数字中的 任一个. hn取i等于说x1 ,x2 ,...,xn中恰好有i 个值取1而其余的取0. 在x1 ,x2 ,...,xn中i个 取1而其余取0的共有 种方式,这些 i n 方式两两互斥. 按诸xi的相互独立性, 每 种方式出现的概率为p i (1-p) n-i . 因此 { } (1 ) ( 0,1,2, , ) i n i n n P i p p i n i h - = = - = 即hn服从B (n,p)
因为n=51+2++5n且5,,,相互独 立,E2=p,Dp(1-p),÷=1,2,…,n,所以 En=E1+E2+…+EEn=p D7n=D51+D22+…+DE7=mp(1-p) 2021/2/20
2021/2/20 4 因为hn =x1+x2+...+xn且x1 ,x2 ,...,xn相互独 立, Exi =p, Dxi =p(1-p), i=1,2,...,n, 所以 Ehn =Ex1+Ex2+...+Exn =np Dhn =Dx1+Dx2+...+Dxn =np(1-p)
中心极限定律 设随机变量,2,.5n相互独立,均值和 方差都一样,设E=八DFQ2,i=1,2,…,n, 则当n很大时(通常在100以上),它们的和 7n=1+52+,+近似服从正态分布Nm4 no) 推论 当n很大时,二项分布,(mn,)近似服从 正态分布Nnp,mp(1-p) (隶莫佛-拉普拉斯中心极限定理) 5 2021/2/20
2021/2/20 5 中心极限定律: 设随机变量x1 ,x2 ,...,xn相互独立, 均值和 方差都一样, 设Exi =m, Dxi =s2 , i=1,2,...,n, 则当n很大时(通常在100以上), 它们的和 hn =x1+x2+...+xn近似服从正态分布N(nm, ns2 ) 推论: 当n很大时, 二项分布B (n,p)近似服从 正态分布N(np,np(1-p)) (隶莫佛-拉普拉斯中心极限定理)