解(1) d=√(-2)2+3 )d=-1-5)+(3-2)+-2-(3)=38 43.在x轴上求与点A(1,2,3)和B(-2,-3,5)等距离的点 解设这个点为:(x0,则√x-1)2+(-2)+(-3)=√x+2)+32+(-5 解之可得:x= 44.在yOz面上,求与点A(4,-2,-2),B(3,1,2)和C(0,5,1)等距离的点 设这个 为 (-4)2+(y+2)2+(xz+2)2=(-3)2+(y-1)2+(xz-2) (-4)2+(y+2)2+(x2+2)2=0+(y-5)2+(x-1) 解之得:y=b=-2,所以这个点为(0,1,-2) 45.已知mr汁j-4k,b=2i-2}+k,试求:a·b、回、及(4b). 解a·b=1×2+1×(-2)+(-4)×1=-4 V2+12+(-42=32 b 3 46.已知a=4,b=5,(ab)=4",试求: )a·b (2)(a+b) (3)(3a-2b)(2a+3b) 解a·b=a‖b (a+b=a+b=aP+|b-21a|b1cos6=41+20√2 (3a-2b)·(2a+3b)=6|a2+9a·b-4b·a-6|b2=-54-50√2 47.已知OA=计3,OB=j+3.(1)求△OAB的面积:(2)求O4与OB之间的夹 角正弦 OA|=y1+3 OB=√1+3
解 (1) ( 2) 3 1 14 2 2 d = − + + = (2) 2 2 2 d = ( 1 5) + (3 2) + [ 2 ( 3)] = 38 - - - - - - 43． 在 x 轴上求与点 A(1，2，3)和 B(-2，-3，5)等距离的点． 解 设这个点为： ( 0 0) x， ， ，则 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) ( 2) 3 ( 5) x x − + − + − = + + + − 解之可得： x =−4 44． 在 yOz 面上，求与点 A(4，-2，- 2)， B(3，1，2)和 C(0，5，1)等距离的点． 解 设这个点为： (0 ) ，y z ， ， 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4) ( 2) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 4) ( 2) ( 2) 0 ( 5) ( 1) y z y z y z y z − + + + + = − + − + − − + + + + = + − + − 解之得： y z = = − 1 2 ， ，所以这个点为 (0 1 2) ， ， − 45． 已知 a=i＋j - 4k，b=2i -2j＋k，试求： a • b 、|a| 、|b|及( ^ a b ， )． 解 a • b = 1 2 +1 (−2) + (−4)1 = −4 ； |a|= 1 1 ( 4) 3 2 2 2 2 + + − = ， |b|= 2 2 1 3 2 2 2 + + = cos( ^ a b ， )= 9 2 2 9 2 4 | || | = − − = • a b a b 46． 已知 |a|＝4，|b|＝5，( ^ a b ， )= 3 π 4 ，试求： (1) a • b (2) (a + b) 2 (3) (3a - 2b) (2a + 3b) 解 a • b =| a || b | cos = −10 2 2 2 2 2 ( ) | | | | | | 2 | || | cos 41 20 2 a a a a + = + = + − = + b b b b (3 2 ) (2 3 ) 6 | | 9 4 6 | | 54 50 2 2 2 a − b • a + b = a + a • b − b • a − b = − − 47． 已知 OA = i＋3k，OB =j＋3k． (1)求△OAB 的面积；(2)求 OA 与 OB 之间的夹 角正弦． 解 2 2 | | 1 3 10 | | 1 3 10 OA OB = + = = + = ，
OA.=9,cos6=、O4·OB_9 OA‖OB|10,所以 √9 S=-|O4‖OB|×-= 所以三角形的面积为2 48.已知a=(2,-3,1),b=(1,-1,3),c=(1,-2,0),计算下列各式 (1)(a·bc-(a·c)()(axb)·c 解(1)(a·b)c-(a·c)b=(2+3+3)c-(2+6+0)b=(0,-8,-24) (2)(a×b)·c=(axb)·c=(-8,-5,1)(1,-2,0)=-8+10=2 49.一架飞机在某高度并以常速600km/h飞行,一架歼击机瞄准了这一飞机前进路线 上的P点,以便对它射击.飞机距P点2km时,歼击机以1200km/h的速度飞行,并且 距离P点4km,又若两机相距5km。问此时的距离减少速度为多少? 解画图易知,两机位置及P点构成的三角形,与两速度向量和距离减少速度向量组成 的三角形相似。从而可知,距离减少速度为1500km/h 一动点与两定点(2,1,3)和(4,5,6)等距离,求此动点的轨迹,并说明 它表示一个什么样的曲面 解:设动点坐标为(x,y,),根据两点间距离公式得 (x-2)2+(y-1)2+(x-3)2=(x-4)2+(y-5)2+(=-6)2 即4x+8y+62=63为动点轨迹的方程 所以,该动点的轨迹是一个平面 2.方程x+y2+2-2x+4y+2=0表示什么曲面? 解:将已知方程配方得 所以,原方程表示以(1,-2,-1)为球心,半径为√6的球面 3.3.求经过点M(,1,1),且法向量为i++k的平面方程 解:设所求平面为丌,法向量为n=(,,1).由点法式得 1·(x-1)+1·(y-1)+1·(二-1)=0 即x+y+z=3为所求平面的方程 4.4.一平面经过点(1,0,-2),且平行于平面2x+3y-5=0,试写出其法向量, 并写出平面的方程 解:设所求平面为丌,法向量为h 已知平面丌1:2x+3y-5=0,其法向量n1=(2,3,-5
OA•OB = 9， 10 9 | || | cos = • = OA OB OA OB ，所以 10 19 sin = 所以三角形的面积为 1 19 19 | || | 2 10 2 S OA OB = = 48． 已知 a＝(2，- 3，1)，b＝(1，- 1，3)，c＝(1，- 2，0)，计算下列各式： (1) ( a • b )c - ( a •c )b (2) (a b) • c 解 (1) ( a • b )c - ( a •c )b=(2 + 3 + 3)c - (2 + 6 + 0)b=(0，-8，-24) (2) (a b) • c = (a b) • c = (-8，-5，1)(1，-2，0) = −8+10 = 2 49． 一架飞机在某高度并以常速 600km/h 飞行，一架歼击机瞄准了这一飞机前进路线 上的 P 点，以便对它射击．飞机距 P 点 2km 时，歼击机以 1 200 km/h 的速度飞行，并且 距离 P 点 4 km，又若两机相距 5km。问此时的距离减少速度为多少？ 解 画图易知，两机位置及 P 点构成的三角形，与两速度向量和距离减少速度向量组成 的三角形相似。从而可知，距离减少速度为 1 500 km/h。 习 题 2 1. 1. 一动点与两定点 (2，1，3) 和 (4，5，6) 等距离，求此动点的轨迹，并说明 它表示一个什么样的曲面． 解: 设动点坐标为（x，y，z），根据两点间距离公式得 2 2 2 2 2 2 (x − 2) + ( y −1) + (z − 3) = (x − 4) + ( y − 5) + (z − 6) 即 4x + 8y + 6z = 63 为动点轨迹的方程． 所以，该动点的轨迹是一个平面． 2. 2. 方程 2 4 2 0 2 2 2 x + y + z − x + y + z = 表示什么曲面？ 解：将已知方程配方得 ( 1) ( 2) ( 1) 6 2 2 2 x − + y + + z + = 所以，原方程表示以（1，−2，−1）为球心，半径为 6 的球面． 3. 3. 求经过点 M (1， 1， 1) ，且法向量为 i＋j＋k 的平面方程． 解：设所求平面为 ，法向量为 n = (1， 1， 1) ．由点法式得 1(x −1) +1( y −1) +1(z −1) = 0 即 x + y + z = 3 为所求平面的方程． 4. 4. 一平面经过点 (1，0，-2)，且平行于平面 2x＋3y－5z＝0，试写出其法向量， 并写出平面的方程． 解：设所求平面为 ，法向量为 n 已知平面 1 ： 2x + 3y −5z = 0 ，其法向量 (2 3 5) n1 = ， ，−
因为z∥z1,所以H∥m,即n=k1=(2k,3k,-5k)(k为非零常数) 又因点(1,0,-2)在平面丌上,所以由点法式得 2k(x-1)+3k(y-0)-5k(=+2)=0 即2x+3y-52=12为所求平面的方程 5.5.求经过三点P(2,3,0),Q-2,-3,4),R(O,6,0)的平面方程,并根据方 程写出其法向量 解:法1设所求平面方程为 Ax+ By+C=+D=0 2A+3B+D=0 2A-3B+4C+D=0 依题意得 6B+D=0 D B C=--D 解(2)式得 D D+D=0 将(3)式代入(1)式得 当D≠0时,3x+2y+62=12即为所求平面的方程,且法向量为(3,2,6) 法2设所求平面为丌,法向量为n 依题意RP=(2,-3,0),RO=(-2,-9,4) 因为P、Q、R都在平面上,所以RP⊥n,B⊥n,即∥ RP x RO n=2-30=1(-12-8j-24k) ,(l为非零常数) 所以 12l(x-0)-8/(y-6)-24(=-0)=0 即3x+2y+62=12为所求平面的方程,且法向量为(,2,6) 6.6.求经过两点(1,-5,1)和(3,2,-2),且平行于y轴的平面方程.试写出其 参数方程 解:由于平面平行y轴,设所求平面方程为 Ax+cz+D=0 将已知点代入(1)式得 3A-2C+D=0 解(2)式得
因为 1 // ，所以 1 n // n ，即 (2 ,3 , 5 ) 1 n = kn = k k − k （ k 为非零常数） 又因点（1，0，−2）在平面 上，所以由点法式得 2k(x −1) + 3k( y − 0) −5k(z + 2) = 0 即 2x + 3y −5z =12 为所求平面的方程． 5. 5. 求经过三点 P(2，3，0)，Q(−2，−3，4)，R(0，6，0) 的平面方程，并根据方 程写出其法向量． 解：法 1 设所求平面方程为 Ax + By +Cz + D = 0 （1） 依题意得 2 3 0 2 3 4 0 6 0 A B D A B C D B D + + = − − + + = + = （2） 解（2）式得 = − = − = − C D B D A D 2 1 6 1 4 1 （3） 将（3）式代入（1）式得 0 2 1 6 1 4 1 − Dx − Dy − Dz + D = 当 D 0 时， 3x + 2y + 6z =12 即为所求平面的方程，且法向量为 (3， 2， 6) 法 2 设所求平面为 ，法向量为 n 依题意 RP = (2， −3， 0)， RQ = (−2， −9， 4) 因为 P、Q、R 都在平面 上，所以 RP ⊥ n , RQ ⊥ n ,即 n// RPRQ 且 ( 12 8 24 ) 2 9 4 2 3 0 l i j k i j k n l = − − − − − = − ，（l 为非零常数） 所以 −12l(x − 0) −8l( y − 6) − 24l(z − 0) = 0 即 3x + 2y + 6z =12 为所求平面的方程，且法向量为 (3 2 6) ， ， ． 6. 6. 求经过两点 (1，−5，1) 和 (3，2，−2)，且平行于 y 轴的平面方程．试写出其 参数方程． 解：由于平面平行 y 轴 ，设所求平面方程为 Ax +Cz + D = 0 （1） 将已知点代入（1）式得 0 3 2 0 A C D A C D + + = − + = （2） 解（2）式得 = − = − C D A D 5 2 5 3 （3）
再将(3)式代入(1)式得 Dx-=D+D=0 5 即3x+2二=5为所求平面的方程 ∞<卩<+0 2=l 令=1,y=V,则其参数方程为 7.7.一平面经过点(4,1,-2),它在x轴和y轴上的截距分别为2和1,求其方程.并 将其转化为平面的参数方程 解:设所求平面方程为 b 依题意a=2,b=1,点(4,1,-2)代入(1)式得c=1 即所求平面方程为 x+2y+2z=2 0<l<+00 0<卩<+0 令x=2,y=”则平面的参数方程为(==1-- 8.8.求与坐标原点O及点(2,3,4)的距离之比为21的点的全体所组成的曲面的 方程,它表示怎样的曲面?试给出其参数方程 解:设曲面上的动点坐标为(x,y,=) 依题意 x2+y2+z2=2(x-2)2+(y-3)2+(-4 即(x-4)+(-6)+(x-8)=58为所求曲面方程(是一个球面) 0<t1<2 58 sinusinν+6 z=√58cos+8 其参数方程为 9.9.确定下列各旋转曲面的一般方程与参数方程: (1)xOy面上的直线y=-3x绕y轴旋转 (2)xO面上的圆(x+1)+=4绕x轴旋转 (3)yO面上的抛物线=5y绕y轴旋转 解:(1)将方程y=-3x两边平方得y=9x 再将上式中的x2换为x2+y2得y2=9(x2+=2),此式即为所求旋转曲面的 方程 x=tsing -∞<t<+ 0≤b≤2 其参数方程为 c=tcos e (2)将方程中的2换为二+y即得旋转曲面方程
再将（3）式代入（1）式得 0 5 2 5 3 − Dx − Dz + D = 即 3x+2z =5 为所求平面的方程． 令 z = u , y = v ，则其参数方程为 5 2 3 u x u y v v z u − = − + = − + = 7. 7. 一平面经过点(4，1，−2)，它在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 2 和 1，求其方程．并 将其转化为平面的参数方程． 解：设所求平面方程为 + + =1 c z b y a x （1） 依题意 a = 2 , b = 1 ，点（4，1，−2）代入（1）式得 c =1 即所求平面方程为 x + 2y + 2z = 2 令 x = 2u , y = v 则平面的参数方程为 2 1 x u u y v v z u v = − + = − + = − − 8. 8. 求与坐标原点 O 及点 (2，3，4) 的距离之比为 21 的点的全体所组成的曲面的 方程，它表示怎样的曲面？试给出其参数方程． 解：设曲面上的动点坐标为 (x，y，z) 依题意 2 ( 4) 2 ( 3) 2 2 ( 2) 2 2 2 x + y + z = x − + y − + z − 即 ( 4) ( 6) ( 8) 58 2 2 2 x − + y − + z − = 为所求曲面方程（是一个球面）． 其参数方程为 58 cos sin 4 0 2π 58 sin sin 6 0 π 58 cos 8 = + = + = + x u v u y u v v z v 9. 9. 确定下列各旋转曲面的一般方程与参数方程： (1) xOy 面上的直线 y = −3x 绕 y 轴旋转； (2) xOz 面上的圆 ( 1) 4 2 2 x + + z = 绕 x 轴旋转； (3) yOz 面上的抛物线 z 5y 2 = 绕 y 轴旋转． 解：（1） 将方程 y = −3x 两边平方得 2 2 y = 9x 再将上式中的 2 x 换为 2 2 x + y 得 9( ) 2 2 2 y = x + z ，此式即为所求旋转曲面的 方程． 其参数方程为 sin 3 0 2π cos = − + = − = x t t y t z t （2）将方程中的 2 z 换为 2 2 z + y 即得旋转曲面方程
该方程表示球心为(-1,0,0),半径为2的球面,其参数方程为 x=2 usin v-1 ≤t≤2丌 y=2sinusinv 0≤v≤兀 2 coSt (3)将抛物线方程中的z换为+x即得绕y轴旋转的曲面方程 x=sine -∞<【<+o c=cost 其参数方程为 10.说明下列旋转曲面是怎样形成的: (1)4 4 (3) -二 解:(1)注意到方程中y,前面的系数一样, 所以该曲面是由曲线49或曲线49绕x轴旋转而成的 (2)由于方程中x2,=2前面的系数一样 =1 所以该曲面是由曲线 或曲线绕y轴旋转而成的. (3)因为方程中y,前面的系数一样. 所以该曲面是由曲线 曲线x2-22=1绕x轴旋转而成的 (4)由于方程中x,y前面的系数一样 所以该曲面是由曲线(-a)2=x2或曲线(-a)2=y2绕z轴旋转而成的 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴: (1)==2x2+y2) :(2)=2=3x2+y):(3)369。1 (4) 解:(1)由于方程中 前面的系数一样 所以母线为z=2x2或2=2y,旋转轴为z轴 (2)由于方程中x,y前面的系数一样 所以母线为2=3x2或2=3y,旋转轴为轴 (3)由于方程中x,前面的系数一样
( 1) 4 2 2 2 x + + y + z = 该方程表示球心为（−1，0，0），半径为 2 的球面，其参数方程为 2cos sin 1 0 2π 2sin sin 0 π 2cos = − = = x u v u y u v v z v （3）将抛物线方程中的 2 z 换为 2 2 z + x 即得绕 y 轴旋转的曲面方程 x z 5y 2 2 + = 其参数方程为 2 sin 5 0 2π cos = − + = = x t t t y z t 10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的： （1） 1 4 9 9 2 2 2 + + = x y z ；（2） 1 4 2 2 2 − + z = y x ；（3） 1 2 2 2 x − y − z = ； （4） 2 2 2 (z − a) = x + y ． 解：（1） 注意到方程中 2 2 y ,z 前面的系数一样， 所以该曲面是由曲线 1 4 9 2 2 + = x y 或曲线 1 4 9 2 2 + = x z 绕 x 轴旋转而成的． （2） 由于方程中 2 2 x ,z 前面的系数一样． 所以该曲面是由曲线 1 4 2 2 − = y x 或曲线绕 y 轴旋转而成的． （3） 因为方程中 2 2 y ,z 前面的系数一样． 所以该曲面是由曲线 或曲线 1 2 2 x − z = 绕 x 轴旋转而成的． （4）由于方程中 2 2 x , y 前面的系数一样． 所以该曲面是由曲线 2 2 (z − a) = x 或曲线 2 2 (z − a) = y 绕 z 轴旋转而成的． 11. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴： (1) 2( ) 2 2 z = x + y ； (2) 3( ) 2 2 2 z = x + y ； (3) 1 36 9 36 2 2 2 + + = x y z ； (4) 1 4 4 2 2 2 − − = y z x ． 解：（1）由于方程中 2 2 x , y 前面的系数一样． 所以母线为 2 z = 2x 或 2 z = 2y ，旋转轴为 z 轴． （2）由于方程中 2 2 x , y 前面的系数一样． 所以母线为 2 2 z = 3x 或 2 2 z = 3y ，旋转轴为 z 轴． （3）由于方程中 2 2 x ,z 前面的系数一样．