解(1)由y=,=snx复合而成 (2)由y=lna,=tan","=2x复合而成 由y=u,=1-v,v=e,t=-x2 复合而成 (4)由y=lna,=x+√1+x复合而成 24.设f(x)=3x+4x,(D)=h(1+0),求(1)(2),进而求f(q(2);(2)求f(ox) 解(1)0(2)=hn(1+2)=ln3 (2)f(0(2)=3(9(2)+4g(2)=3n3)+4n3 (3)f((x)=3((x)2+4(x)=3n(1+x)2+4lm(1+x) 25.求下列函数的反函数,指出定义域 (2)y=1+h(x x y≠ (2)x= 2y∈R y<1 26.加拿大芳迪湾( Bay of Fundy)以拥有世界上最大的海潮著称,其高低水位之差达15 m之多.假设在芳迪湾某一特定点,水的深度y(单位:m)作为时间t的函数由 y=yo+ Acos[B(t-to)] 给出,其中【为自1994年1月1日午夜以来的小时数. 1)解释y0的物理意义 (2)求出A的值 (3)求出B的值,假定连续两次高潮位的时间间隔为2h (4)解释o的物理意义 解(1)10表示海潮的平衡位置高度 (2)A=152=7.5m B= (4)0表示199年1月1日午夜以来海潮第一次达到最高位置的小时数。 27.设一个家庭贷款购房的能力y是其偿还能力u的100倍,而这个家庭的偿还能 力u是月收入x的20% (1)(1)试把此家庭贷款购房能力y表示成月收入x的函数; (2)(2)如果这个家庭的月收入是4000元,那么这个家庭购买住房可贷款多少?
解（1）由 2 y u u x = = ， sin 复合而成； （2）由 y u u v v x = = = ln tan 2 ， ， 复合而成； （3）由 2 2 = = − = = − 1 et y u u v v t x ， ， ， 复合而成； （4）由 2 y u u x x = = + + ln 1 ， 复合而成． 24． 设 f (x) 3x 4x 2 = + ，(t) = ln(1+ t) ，求(1) (2) ，进而求 f ((2)) ；(2) 求 f ((x)) ． 解（1） (2) ln(1 2) ln 3 = + = （2） 2 2 f ( (2)) 3( (2)) 4 (2) 3(ln3) 4ln3 = + = + （3） 2 2 f x x x x x ( ( )) 3( ( )) 4 ( ) 3[ln(1 )] 4ln(1 ) = + = + + + 25． 求下列函数的反函数，指出定义域： (1) + 2 = x x y ； (2) y =1+ ln(x + 2) ； (3) 1 2 y = x + (x ≥ 0) ． 解 (1) 2 2 1 1 x y y = − − ；(2) 1 2 y x e y R − = − ；(3) 2 x y = − − 1 1 ≤ y ≤ 1 26． 加拿大芳迪湾(Bay of Fundy)以拥有世界上最大的海潮著称，其高低水位之差达 15 m 之多．假设在芳迪湾某一特定点，水的深度 y （单位：m）作为时间 t 的函数由 cos[ ( )] 0 0 y = y + A B t −t 给出，其中 t 为自 1994 年 1 月 1 日午夜以来的小时数． (1) 解释 0 y 的物理意义． (2) 求出 A 的值． (3) 求出 B 的值，假定连续两次高潮位的时间间隔为 2 1 12 h． (4) 解释 0 t 的物理意义． 解 (1) 0 y 表示海潮的平衡位置高度． (2) A =15/2=7.5m (3) 2 4 1 25 12 2 B = = (4) 0 t 表示 1994 年 1 月 1 日午夜以来海潮第一次达到最高位置的小时数。 27． 设一个家庭贷款购房的能力 y 是其偿还能力 u 的 100 倍，而这个家庭的偿还能 力 u 是月收入 x 的 20 %． (1)(1)试把此家庭贷款购房能力 y 表示成月收入 x 的函数; (2)(2)如果这个家庭的月收入是 4 000 元，那么这个家庭购买住房可贷款多少?
解:y=100=100(20%x)=20x x=4000时,y=20×4000=80000元) 28.()从表1Ⅱ中所给数据,说明区间0s1s4上sint2=0的根的数目,并给出 这些根的近似值的大致位置 -0.76 (2)试利用图形计算器或计算机,在区间0≤t≤4上画图验证(1)中所得结果; (3)利用计算器或计算机估算每个根精确到一位小数 (4)解释最小正根为√的理由: (5)求出方程在区间0sx≤4上所有根的精确值(如π等) 解(1)由题目给出的数据可得在0处有一个根,在区间(1,2)至少存在一个根,在区 间(2,3)至少存在一个根,在区间(3,4)至少存在一个根.即在区间[0,4至少存在四个根 (3)x=0x2=18x=2.5x=3x=35; (4) 29.决定图1-55,1-56每个图象的三次多项式 02 解(1)图象与x轴有三个交点:x=2,x2=巧=5,因此可设函数为 y=k(x+2x-l)x-5), 把x=0,y=2代入: =2×(-1)×(-5)k→k ,因此所求方程为: (x+2)(x-1)(x-5 (2)图象与x轴有两个交点,所以其中有一个是重根,如图可设不x=-2,x=2 因此可设函
100 100(20 % ) 20 4 000 20 4 000 80 000 = = = = = = y u x x x y 解： 时， （元） 28． (1) 从表 1-11 中所给数据，说明区间 0≤ t ≤4 上 sin 2 t = 0 的根的数目，并给出 这些根的近似值的大致位置； t 0 1 2 3 4 sin 2 t 0 0.84 -0.76 0.41 -0.29 (2) 试利用图形计算器或计算机，在区间 0≤ t ≤4 上画图验证(1)中所得结果； (3) 利用计算器或计算机估算每个根精确到一位小数； (4) 解释最小正根为 π 的理由； (5) 求出方程在区间 0 x 4 上所有根的精确值(如 π 等)． 解 (1) 由题目给出的数据可得在 0 处有一个根，在区间(1，2)至少存在一个根，在区 间(2，3)至少存在一个根，在区间(3，4)至少存在一个根．即在区间[0，4]至少存在四个根； (2) 略； (3) 1 2 3 4 5 x x x x x = = = = = 0 1.8 2.5 3.1 3.5 ； ； ； ； ； (4) (5) 1 2 3 4 5 x x x x x = = = = = 0； π； 2π； 3π； 4π ． 29． 决定图 1-55，1-56 每个图象的三次多项式． 解 (1) 图象与 x 轴有三个交点： 1 2 3 x x x = − = = 2 1 5 ， ， ，因此可设函数为： y k x x x = + − − ( 2)( 1)( 5) ， 把 x y = = 0 2 ， 代入： 1 5 2 2 ( 1) ( 5) = − − = k k ， 因 此 所 求 方 程 为 ： 1 5 y x x x = ( 2)( 1)( 5) + − − (2) 图象与 x 轴有两个交点，所以其中有一个是重根，如图可设 1 2 3 x x x ， ， = − = 2 2， 因此可设函
数为y=k(x+2)(x-2),把x=0时,y=4带入得 =22×(-2)k→k 2,因此所 求方 (x+2)(x-2) 程为: 考虑下图的图象 -L,oV (1)此函数有多少零点?求零点的近似位置: (2)计算f(2)和f(4)的近似值: (3)该函数在x=-1附近是递增的还是递减的?x=3附近情况又如何? 解(1)如图可知,此函数有四个零点.x1-45:x2≈1.3:x3≈27;x1≈42 (2)f(2)=-1f(4)≈05 (3)函数在x=-1附近是递减的,x=3附近是递增的 31.(1)考虑如图1-58(a)所示的函数,求C的坐标: (2)考虑如图1-58(b所示的函数,求用b表示的C的坐标 (0b) l.1) 解(a)C所在的直线方程为1-0 代入抛物线的方程x=-x+2→x=1,x2=-2 x=1,y=1是题目给出的交点,所以所求的交点C为(-2,4 x+6=(1-b)x+ b b)C所在的直线方程为1-0 代入抛物线的方程 x2=(1-b)x+b→x=,x2=-b 所求的交点C为(-b,b) 32.化学反应中的催化剂是一种加速反应进程但其本身并不改变的物质.如果反应生成 物本身是催化剂,该反应则称为自催化的.假设其一特定的自催化反应的速率F正比于原物 质的剩余量与生成物的数量P的函数 (1)将r表示为P的函数
数为 2 y k x x = + − ( 2) ( 2) ，把 x y = = 0 4 时， 带入得： 2 1 2 4 = − = − 2 ( 2)k k ，因此所 求方 程为： 1 2 ( 2) ( 2) 2 y = − + − x x 30． 考虑下图的图象． (1) 此函数有多少零点？求零点的近似位置； (2) 计算 f (2) 和 f (4) 的近似值； (3) 该函数在 x = − 1 附近是递增的还是递减的？ x = 3 附近情况又如何？ 解 (1) 如图可知，此函数有四个零点． 1 2 3 4 x x x x − 4.5 1.3 2.7 4.2 ； ； ； (2) f f (2) 1 (4) 0.5 − ； (3) 函数在 x = − 1 附近是递减的， x = 3 附近是递增的． 31． (1) 考虑如图 1-58(a)所示的函数，求 C 的坐标； (2) 考虑如图 1-58(b)所示的函数，求用 b 表示的 C 的坐标． 解 (a) C 所在的直线方程为 1 2 2 2 1 0 y x x − = + = − + − 代入抛物线的方程 2 1 2 x x x x = − + = = − 2 1 2 ， ， 1 x y = = 1 1 ， 是题目给出的交点，所以所求的交点 C 为 ( 2 ) − ，4 (b) C 所在的直线方程为 1 (1 ) 1 0 b y x b b x b − = + = − + − ，代入抛物线的方程： 2 1 2 x b x b x x b = − + = = − (1 ) 1， 所求的交点 C 为 2 ( ) −b b ， ． 32．化学反应中的催化剂是一种加速反应进程但其本身并不改变的物质．如果反应生成 物本身是催化剂，该反应则称为自催化的．假设其一特定的自催化反应的速率 r 正比于原物 质的剩余量与生成物的数量 p 的函数． (1) 将 r 表示为 p 的函数；
(2)当反应进程最快时,P的值是多少? 解设元物质总量为Q,由题意可知: (1)F=k(Q-P)P,其中k为正比例常数。 Q P (2)求r的最大值,可得 2,即原物质剩余量p减少为原来的一半时,反应进程 最快。 33.在空间直角坐标系中,说明下列各点的位置 (3,1,2)、B(2,-3,2)、C(1,-2,-4)、D(-3,0,4)、E(0,0,-2)、F(-2,6,-2). 解4(3,1,2)位于第一卦限、B(2,-3,2)位于第四卦限、C(l,-2,-4)位于第八卦 限、D(-3,0,4)位于xO平面、E(0,0,-2)位于二轴负向、F(-2,6,-2)位于第六卦限 4.求点M(2,3,4)关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点的坐标 解(1)关于xO的对称点为(2,3,-4),关于的对称点为(-2,3,4),关于XO的 对称点为(2,-3,4). (2)关于x轴的对称点为(2,-3,-4),关于y轴的对称点为-2,3,-4),关于二轴的 对称点为(-2,-3,4) (3)关于坐标原点的对称点的坐标为(-2,-3,-4) 35.求下列各函数的定义域,并画出定义域的图形: (1)=lm(y2-4x+8) 二= arcs =y+/个 36.某公司生产中使用I和Ⅲ两种原料,已知I和Ⅱ两种原料分别使用x单位和 y单位可生产U单位的产品,这里U(x,y)=8xy+32x+40y-4x2-6y2并且第1种原料每 单位的价值为10元,第Ⅱ种原料每单位的价值为4元,产品成品每单位的售价为40元, 试给出其利润函数 10x+4y 解其单位产品利润为P=单位价格-单位成本=(8xy-32x-40y+4x2+6y2) 个灯泡悬吊在半径为r的圆桌正上方,桌上任一点受到的光照度与光线的入射 角的余弦值成正比(入射角是光线与桌面的垂直线之间的夹角),而与光源的距离平方成反 比.试求桌子边缘所得到的光照度 解:设光源离桌面的高度为h,则桌子边缘所得到光线的入射角的余弦值cos= 其中h2+r2即为距光源的距离的平方 k. 0 所以光照度为分+=+N分+,其中k为一个常数 38.在平行四边形ABCD中,已知AB=a,AD=b,M为对角线AC与BD的交点
(2) 当反应进程最快时， p 的值是多少？ 解 设元物质总量为 Q，由题意可知： (1) r = k(Q − p) p ，其中 k 为正比例常数。 (2) 求 r 的最大值，可得： 2 Q p = ，即原物质剩余量 p 减少为原来的一半时，反应进程 最快。 33．在空间直角坐标系中，说明下列各点的位置 A(3，1，2)、B(2，-3，2)、C(1，-2，-4)、D(-3，0，4)、E(0，0，-2)、F(-2，6，-2)． 解 A(3，1，2)位于第一卦限、B(2，-3，2) 位于第四卦限、C(1，-2，-4) 位于第八卦 限、D(-3，0，4) 位于 xOz 平面、E(0，0，-2) 位于 z 轴负向、F(-2，6，-2) 位于第六卦限． 34．求点 M(2，3，4)关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点的坐标． 解 (1) 关于 xOy 的对称点为(2，3，-4)，关于 yOz 的对称点为(-2，3，4)，关于 xOz 的 对称点为(2，-3，4)． (2)关于 x 轴的对称点为(2，-3，-4)，关于 y 轴的对称点为(-2，3，-4)，关于 z 轴的 对称点为(-2，-3，4)． (3)关于坐标原点的对称点的坐标为(-2，-3，-4)． 35． 求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形： (1) ln( 4 8) 2 z = y − x + ； (2) x y z = arcsin ； (3) ln(1 ) 4 2 2 2 x y x y z − − − = ； (4) 2 2 2 2 2 2 ln x y R x y R z xy + + − + = + ． 36． 某公司生产中使用 I 和 II 两种原料，已知 I 和 II 两种原料分别使用 x 单位和 y 单位可生产 U 单位的产品，这里 2 2 U(x, y) = 8xy + 32x + 40y − 4x − 6y 并且第 I 种原料每 单位的价值为 10 元，第 II 种原料每单位的价值为 4 元，产品成品每单位的售价为 40 元， 试给出其利润函数． 解 其单位产品利润为 P=单位价格-单位成本= 2 2 10 4 40 (8 32 40 4 6 ) x y xy x y x y + − − − + + 37． 一个灯泡悬吊在半径为 r 的圆桌正上方，桌上任一点受到的光照度与光线的入射 角的余弦值成正比(入射角是光线与桌面的垂直线之间的夹角)，而与光源的距离平方成反 比．试求桌子边缘所得到的光照度． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos ( ) h h h r h r k kh k h r h r h r = + + = + + + 解：设光源离桌面的高度为 ，则桌子边缘所得到光线的入射角的余弦值 ， 其中 即为距光源的距离的平方 所以光照度为 ，其中 为一个常数． 38． 在平行四边形 ABCD 中，已知 AB = a ，AD = b ，M 为对角线 AC 与 BD 的交点
试用a,b表示MA,MB,MC,MD AC=a+b, BD=6-a MA=-AM=--AC=--(a+b), MC=AM=-AC=-(a+b) MB=-BM=--BD=--(b-a), MD= BM=-BD=-(b-a 39.已知a=5,|b=3,a+b=7,求{a-b cos0=+b2 6 解设两向量之间的夹角为6,则由余弦公式 2ab 2,所以3 2+b2-2 Cab cos=√9 所以a-b 40.由坐标系的原点到一点所引的向量称为这一点的向径.已知在平行四边形ABCD 中,三个顶点A、B、C的向径表达式为:OA=h,OB=n,OC=r,试求向径OD 的表达式,如图1-59所示 N OD=OA+ AD=OA+ BC=OA+OC-08=5+r-2 41.一条东西走向的河流,水由东流向西,流速为1km/h,某游泳者从河南岸的A点 以2kmh的速度游往对岸,方向为正北.若河的宽度为4km,画图分析游泳者的真实游 泳方向,然后求解 (1)游泳者的游动速度? (2)游泳者花多长时间可以游至对岸?所游的路程为多少? 解(1)"=Ⅵ+22 2 (h),所游路程为:S=Vt=2√5(km) 42.求下列各对点之间的距离 (1)点A(0,0,0)与点B(-2,3,1):(2)点C5,2,-3)与点D(-1,3,-2)
试用 a，b 表示 MA ，MB ，MC ，MD ． 解 AC BD =a b b a + = − ， 所 以 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 MA AM AC MC AM AC = − = − + = = = + =- ( ) a b a b ， 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 =- ( ) MB BM BD MD BM BD = − = − − = = = − b a b a ， 39． 已知|a|=5，|b|=3，|a + b|＝7，求|a - b|． 解 设两向量之间的夹角为 ，则由余弦公式 2 2 2 1 cos 2 2 + − = = a b c ab ，所以 π 3 = ， 所以|a－b| 2 2 π 2 cos 19 3 = + − = a b ab 40． 由坐标系的原点到一点所引的向量称为这一点的向径． 已知在平行四边形 ABCD 中，三个顶点 A、B、C 的向径表达式为： OA ＝ 1 r ，OB ＝ 2 r ，OC ＝ 3 r ，试求向径 OD 的表达式，如图 1-59 所示． 解 OD OA AD OA BC OA OC OB r r r 1 3 2 = + = + = + − = + − 41． 一条东西走向的河流，水由东流向西，流速为 1 km/h，某游泳者从河南岸的 A 点 以 2 km/h 的速度游往对岸，方向为正北． 若河的宽度为 4km，画图分析游泳者的真实游 泳方向，然后求解： (1) 游泳者的游动速度？ (2) 游泳者花多长时间可以游至对岸？所游的路程为多少？ 解 (1) 1 2 5 2 v = + = (2) 2 2 4 t = = （h），所游路程为： s = vt = 2 5 （km） 42． 求下列各对点之间的距离 (1) 点 A(0，0，0)与点 B(-2，3，1)； (2) 点 C(5，2，-3)与点 D(-1，3，-2)．