这个定义可以帮助理解函数在一点连续的本质：自变量变化很小时，函数值的变化也很小y = f(x)连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. x y o y = f (x) 这个定义可以帮助理解函数在一点连续 的本质： 自变量变化很小时，函数值的变化也很小
在考虑函数的连续性时，我们一般分三步考虑：D先给定△x;2)求出y;3）考察当△x→0时，是否有△V→0
在考虑函数的连续性时，我们一般分三 步考虑： 1）先给定x； 2）求出y； 3）考察当 → → x y 0时，是否有 0
例1 证明y= sinx在定义域内连续用定义一证明函数在某点x,连续分析与提示：考察当△x→0时，是需先求出△y,否△y→0.Bα+Bαsinα-sinβ=2cossin22ArAx证Ay = sin(x + △x) - sin x = 2cos(x +sin22AxArAx由于≤11≤cos(x +sinx|≤|xsin222Ax于是」Ay|=|2cos(x+Arsin22
例1 证明 y = sinx 在定义域内连续. 2 2 ) 1, sin 2 cos( x x x x 由于 + sinx x x x x y x = + 2 ) sin 2 于是 2cos( 2 )sin 2 sin( ) sin 2cos( x x y x x x x 证 = + − = + 2 sin 2 sin sin 2cos + − − = 0 0 0. x y x y → → 用定义一证明函数在某点 连续， 需先求出 ，考察当 时，是 分 否 析与提示：
AxAr于是|Ay|=|2cos(x+Axsin<22显然当△x→0时，Ay→0.0 ≤[Ay|≤Ax|→0因此y=sinx在定义域内连续
显然当 →x 0 , 时 →y 0. 因此 y = sinx 在定义域内连续. 0 y x → 0 x x x y x = + 2 ) sin 2 于是 2cos(
定义二设函数f(x）在U(xo,S)内有定义如果当x→x,时，f(x）的极限存在且等于f(x），即lim f(x)=f(x）x-→xo那么就称函数f(x）在点x,连续由定义一lim △y = 0f (x)Ax-→>0即 lim[f(xo ±Ar)- f(xo)] = 0Ar-→0lim[f(x) -f(x)]=0= lim f(x) =f(x,)x-→xox-→xo
0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x f x x f x → 即 + − = f (x) 0 0 0 0 0 0 ( , ) i , l mx x f x f x U x x x f x f f x f x x x → → 设函数（ ）在 内有定义 如果当 时，（ ）的极限存在且等于 （ ），即 ， 那么就 （ ）=（ ） 称函数（ ）在点 定义二 连续. 0 lim 0 x y → 由定义一 = 0 0 0 0 lim[ ] 0 lim x x x x f x f x f x f x → → （ ）-（ ）= （ ）=（ ）