《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分 3-2 求导数的方法——法则与公式

第二节求导数的方法一法则与公式主要内容：求导法则二天基本初等函数的求导公式

主要内容： 求导数的方法 法则与公式 一、求导法则 二、基本初等函数的求导公式 第二节

求导法则1.函数和、差、积、商的求导法则：如果函数u(x)、v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且(1) [u(x)±v(x)} =u(x)±v'(x)证明 令y=u(x)±v(x)Ay = u(x + Ax)±v(x +△x)-[u(x)±v(x))=[u(x +Ax) -u(x)]±[v(x +△x) -v(x)]

(1) [ ] u x u x ( )  = v x v x ( ) ( )  ( )  . 1. 函数和、差、积、商的求导法则： 如果函数 、 在点 处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点 处也 可导，并且 u x v x x ( ) ( ) x 一、求导法则 y u x v x =  ( ) ( )  = +   +  −  y u x x v x x u x v x ( ) ( ) [ ( ) ( )] 证明 令 = +  −  +  − [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] u x x u x v x x v x

=[u(x +△x)-u(x)l±[v(x + △x)-v(x))=Au±AvAuAvAy于是土AxArArAuAvlimlimuy=u(x)±v(x)Ar-0 △xAr-→0AxAuAvAylimu±= lim± limAr→0 AxAr→0 △xAr→0 △x此法则可推广到任意有限项的情形，即代数和的导数等于导数的代数和

. y u v x x x    =     =    u v. 0 0 lim , lim , x x u v u v  →  → x x   = =     0 0 0 lim lim lim . x x x y u v y u v  →  →  → x x x     = =  =        = +  −  +  − [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] u x x u x v x x v x 代数和的导数等于导数的代数和. 于是 y u x v x =  ( ) ( ) 此法则可推广到任意有限项的情形，即

例1 已知y = x3 - sin x +In2,求y'解常数y' = (x3 - sinx +In2))+(=（)-()=0= 3x2 -cosx.[u(x)±v(x))' = u(x)±v(x)(2) [u(x) · v(x)) =u(x)v(x) +u(x)v(x)当u=C(C为常量）时，（Cv)=Cv.常数因子可提到导数符号外面

= 0 当u v = = C C C （ 为常量）时，( ) 例1 sin ln 2, . 已知y x x y = − + 3 求  3 解 y x x   = − + ( sin ln 2) = − + ( ) ( ) ( )    2 = − 3 cos . x x (2) [ ] u x u x ( ) (  v x v x ( ) x  = +  ) ( ) v( ) ( ) u x  . 常数因子可提到导数符号外面. C C v  . sin x ln 2 3 x 常数 [ ] u x u x ( ) (  = v x v x ( )   )  ( )

已知y =x2Inx+2/xcosx+ T例2 ,求y'.)解 j'=(x2 Inx+2/x cosx+TTxInx)+(2/xcosx)+(T )=0=(x")lnx+x?. 1x+(2 /x) cos x+ 2 /x(cos x)cos xE-2/x sin x.=2xlnx+x+/x[u(x).v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v(x)

cos 2 ln 2 sin . x x x x x x x = + + − + + (2 ) cos 2 (cos ) x x x x   2 2 1 ( ) ln x x x x =  +  [ ] u x u x u x ( ) ( ) ( )  v x v x v x ( ) ( ) ( )  = +   常数 [ ] u(x) v(x)  2 例2 ln 2 cos , . 已知y x x x x y = + + π 求  2 解 y x x x x   = + + ( ln 2 cos )  π 2 = + + ( ln ) (2 cos ) ( ) x x x x ln x    ( ) 0 π   = 2 x 2 x cos x