概车纶与款理统外「 例3：设总体X服从参数为p的0,1)分布，抽取一 个容量为7的样本，其观察值为0,1,0,0,1,0,1)，试 求参数p的最大似然估计量和最大似然估计值， 解：由X的分布律为P{X=}p(I-p), 样本(X,X2Xn)取观察值(x,x2xn)对应 的最大似然函数为： L(p)=Πp*I-p)
例3：设总体X服从参数为p的(0,1)分布，抽取一 个容量为7的样本，其观察值为(0,1,0,0,1,0,1)，试 求参数p的最大似然估计量和最大似然估计值. (1- ) k k 解：由X P X k p p 的分布律为 = = ， 样本 X X X x x x 1 2 1 2 n n ( , , )取观察值( , , )对应 的最大似然函数为： 1 1 ( ) (1 ) i i n x x i L p p p − = = −
=p(1-p)p*(1-p)-.p(1-pj 事纶与款程统针 =p++t(1-p)）-+5+t,） h(p-hp+a-立x)lal-p) 两边关于p求导： w-尊)62
1 1 2 2 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) n n x x x x x x p p p p p p − − − = − − − 1 2 1 2 ( ) (1 ) n n x x x n x x x p p + + + − + + + = − 1 1 ln( ( )) ( )ln ( )ln(1 ) n n i i i i L p x p n x p = = = + − − 1 1 (ln( ( ))) 1 1 ( ) ( ) 1 n n i i i i d L p x n x dp p p = = = − − − 两边关于p求导：
概车纶与款理统外 令2切易a立H0 1-p p 故p的最大似然估计量为p= n 代入观察值得的最大似然估计值p=多
1 1 1 1 ( ) ( )=0 1 n n i i i i x n x p p = = − − − 令 1 1 1 1 1 1 n n n i i i i i i n i i x n x n x p p p p x = = = = − − − = = − 即 1 , n i i x p p n = = 故 的最大似然估计量为 3 . 7 代入观察值得p p 的最大似然估计值 =
概華论与款醒硫外 (2)设总体X属连续型 似然函数的定义 设概率密度为f(x;0),0为待估参数0∈⊙， (其中®是0可能的取值范围 X1,X2,Xn是来自总体X的样本 则X,X,Xn的联合密度为fx;0, i=1 又设x1,x2,.,七n为相应于样本X1,X2,Xn的 个样本值
(2) 设总体 X 属连续型 设概率密度为f (x; ), 为待估参数, , , , , , X1 X2 Xn 是来自总体 X 的样本 , , , ( ; ). 1 1 2 = n i n xi 则 X X X 的联合密度为 f 似然函数的定义 (其中 是 可能的取值范围) . , , , , , , 1 2 1 2 一个样本值 又 设 x x xn 为相应于样本 X X Xn 的
概车纶与款理统外 40)=L(x,x;8)=1fx0 L(Θ)称为样本的似然函数 L,2,)=max L,x2,0) 0∈⊙ x1,2,xn 参数0的最大似然估计值 0X,X2,.,X) 参数0的最大似然估计量
( ) ( , , , ; ) ( ; ), 1 1 2 = = = n i n xi L L x x x f L( )称为样本的似然函数. ) max ( , , , ; ). ˆ ( , , , ; 1 2 1 2 L x x xn L x x xn 若 = ( , , , ) ˆ x1 x2 xn ( , , , ) ˆ X1 X2 Xn 参 数 的最大似然估计值, 参 数 的最大似然估计量