NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注1.几何意义:如图 若连续曲线y=f(x) 除端点外处处有不垂直 y=f() 于x轴的切线.且两端点 的纵坐标相等.则在曲 线上至少存在一点M X 在M点的切线平行于x 轴,也就是平行于弦AB OD 高等數粤
b M 0 a x y x 0 Mx0 y = f (x ) 注1. 几何意义: 如图 A B 若连续曲线y = f (x ) 除端点外处处有不垂直 于x轴的切线. 且两端点 的纵坐标相等. 则在曲 线上至少存在一点 M. 在 M点的切线平行于 x 轴 . 也就是平行于弦AB
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注2.从方程的角度看,∫'(=0表示ξ是方程 f'(x)=0的根因此,罗尔定理的意义是若 ∫(x)满足定理条件,则方程f‘(x)=0在(a b)内至少有一个根 OD 高等數粤
注2. 从方程的角度看, f ' ()=表示是方程 f '(x)=的根.因此, 罗尔定理的意义是若 f (x)满足定理条件, 则方程 f '(x)=在(a, b)内至少有一个根
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注3.定理的条件"f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内 可导,f(a)=f(b)"不能减弱否则,结论不对 比如,f(x)=x在[-1,1] 上连续.在除x0外的每 y=x 点x处都可导.且f(-1)=f(1) 但是,不存在ξ∈(-1,1,使 0 XX 得f(2=0.如图 OD 高等數粤
注3. 定理的条件"f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内 可导, f (a)= f (b) " 不能减弱. 否则, 结论不对. 比如, f (x)= |x|在[–1, 1] 上连续. 在除x=0外的每一 点x处都可导. 且f (–1)=f (1), 但是, 不存在(–1, 1), 使 得f '()=0. 如图 0 x y −1 1 y = |x|
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例1.设函数f(x)=(x-1)x-2)x-3),试判断方程 f(x)=0有几个实根,分别在何区间? 解:因为f(1)=f(2)f(3),且f(x)在[1,2]上连续 在(1,2)内可导,由罗尔定理,5∈(1,2),使f(51=0 同理,ξ2∈(2,3),使f'(2)=0; 又因f'(x)=0是二次方程,至多两个实根 故f'(x)=0有两个实根,分别位于(1,2)和(2,3)内 OD 高等數粤
例1. 设函数 f (x) = (x−1)(x−2)(x−3), 试判断方程 f '(x)= 有几个实根, 分别在何区间? 解: 因为 f (1)= f (2)= f (3), 且f (x)在[1, 2]上连续, 在(1,2)内可导, 由罗尔定理, 1(1, 2),使 f(1 )=; 同理, 2(, ), 使 f ' (2 )=; 又因f ' (x)=是二次方程, 至多两个实根, 故f ' (x)=有两个实根, 分别位于(1,2) 和(2,3)内
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (1)修改:f(x)=(x-1)x-2)(x-3)(x-4),结论如何? (2)修改:不解方程,问(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3) +(x-1)(x-2)=0有几个实根,分别在何区间? OD 高等數粤
(1)修改: f (x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4), 结论如何? (2)修改: 不解方程, 问 (x−2)(x−3)+(x−1)(x−3) +(x−1)(x−2)=0有几个实根, 分别在何区间?